Công thức thừa số tích phân

Đặt $\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}$; lấy đạo hàm bằng quy tắc dây chuyền cho $\mu'(x)=P(x)\mu(x)$, vì đạo hàm của số mũ $\int P(x)\,dx$ là $P(x)$.

Nhân hai vế của $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ với $\mu(x)$: điều này cho $\mu(x)y' + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x)$.

Theo quy tắc tích, $\frac{d}{dx}[\mu(x)y(x)] = \mu(x)y'(x) + \mu'(x)y(x)$, và vì $\mu'(x)=P(x)\mu(x)$, điều này bằng chính xác $\mu(x)y' + \mu(x)P(x)y$ — vế trái ở trên. Vậy phương trình trở thành $\frac{d}{dx}[\mu(x)y(x)] = \mu(x)Q(x)$.

Lấy tích phân hai vế theo $x$ cho $\mu(x)y(x) = \int \mu(x)Q(x)\,dx + C$ với hằng số tùy ý $C$. Chia cả hai vế cho $\mu(x)$ (không bao giờ bằng không, vì là hàm mũ) cho $y(x) = \frac{1}{\mu(x)}\left(\int \mu(x) Q(x)\,dx + C\right)$.