Phương trình vi phân và Hệ động lực

Phương trình vi phân cấp một

Phương trình liên hệ hàm số với đạo hàm cấp một của nó, giải bằng tách biến hoặc thừa số tích phân.

Trực giácNó đang thay đổi nhanh cỡ nào ngay lúc này?

Nhiều hiện tượng dễ mô tả nhất không phải bằng một công thức cho chính đại lượng đó, mà bằng một quy tắc cho biết đại lượng đó đang thay đổi nhanh cỡ nào: một quần thể tăng trưởng tỉ lệ với kích thước hiện tại của nó, một cốc cà phê nóng nguội đi với tốc độ tỉ lệ với việc nó nóng hơn phòng bao nhiêu, điện áp của một tụ điện đang nạp tăng chậm dần khi nó tiến gần đến mức đầy. Một phương trình vi phân cấp một chính là một quy tắc như vậy — nó liên hệ một hàm số chưa biết $y(x)$ với đạo hàm $y'(x)$ của chính nó — và giải nó nghĩa là khôi phục lại toàn bộ hàm số từ quy tắc cho tốc độ thay đổi của nó.

Trường hướng của phương trình vi phân cấp một

y' = y - c x^2

cùng ba đường cong nghiệm xuất phát từ ba giá trị ban đầu

y(t_0) = y_0

khác nhau.

Đại họcPhương trình tách biến và phương trình tuyến tính

Định nghĩa: Phương trình tách biến

Một phương trình cấp một là tách biến được khi nó có thể viết dưới dạng $\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ : vế phải phân tích thành một phần chỉ phụ thuộc $x$ và một phần chỉ phụ thuộc $y$ . Chuyển mọi số hạng chứa $y$ sang một vế và mọi số hạng chứa $x$ sang vế kia biến phương trình thành hai tích phân thông thường, $\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,dx$ .

\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)

Chẳng hạn, phương trình tự trị $\frac{dy}{dx}=g(y)$ (khi tốc độ thay đổi chỉ phụ thuộc vào giá trị hiện tại $y$ , không phụ thuộc $x$ ) là trường hợp đặc biệt $f(x)=1$ ; các nghiệm cân bằng của nó xảy ra chính xác ở nơi $g(y)=0$ , và các nghiệm hằng số này rất dễ bị mất nếu chia cho $g(y)$ một cách bất cẩn.

\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)

Các dạng phương trình cấp một
Dạng	Dạng chuẩn	Phương pháp giải
Tách biến	$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$	lấy tích phân hai vế: $\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,dx$
Tuyến tính cấp một	$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$	nhân với $\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}$ , rồi lấy tích phân
Tự trị	$\frac{dy}{dx}=g(y)$	trường hợp tách biến đặc biệt; cân bằng tại $g(y)=0$

Đại họcGiải và đảm bảo nghiệm tồn tại

Định lý: Công thức thừa số tích phân

Nếu $P(x)$ và $Q(x)$ liên tục trên một khoảng và $\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}$ , thì mọi nghiệm của phương trình tuyến tính $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ được cho bởi $y(x) = \frac{1}{\mu(x)}\left(\int \mu(x) Q(x)\,dx + C\right)$ .

Vì sao đúng?

Mẹo này tương tự với việc hoàn thành bình phương: ta nhân toàn bộ phương trình với một thừa số $\mu(x)$ được chọn khéo léo sao cho vế trái thu gọn thành đạo hàm của một tích duy nhất $\mu(x)y(x)$ , biến một phương trình vi phân thành thứ ta có thể lấy tích phân trực tiếp.

Chứng minh

Đặt $\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}$ ; lấy đạo hàm bằng quy tắc dây chuyền cho $\mu'(x)=P(x)\mu(x)$ , vì đạo hàm của số mũ $\int P(x)\,dx$ là $P(x)$ .

Nhân hai vế của $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ với $\mu(x)$ : điều này cho $\mu(x)y' + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x)$ .

Theo quy tắc tích, $\frac{d}{dx}[\mu(x)y(x)] = \mu(x)y'(x) + \mu'(x)y(x)$ , và vì $\mu'(x)=P(x)\mu(x)$ , điều này bằng chính xác $\mu(x)y' + \mu(x)P(x)y$ — vế trái ở trên. Vậy phương trình trở thành $\frac{d}{dx}[\mu(x)y(x)] = \mu(x)Q(x)$ .

Lấy tích phân hai vế theo $x$ cho $\mu(x)y(x) = \int \mu(x)Q(x)\,dx + C$ với hằng số tùy ý $C$ . Chia cả hai vế cho $\mu(x)$ (không bao giờ bằng không, vì là hàm mũ) cho $y(x) = \frac{1}{\mu(x)}\left(\int \mu(x) Q(x)\,dx + C\right)$ .

Định lý: Định lý tồn tại–duy nhất Picard–Lindelöf

Giả sử $f(x,y)$ liên tục trên một hình chữ nhật quanh $(x_0,y_0)$ và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo $y$ : $|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le L|y_1-y_2|$ với hằng số $L$ nào đó. Khi đó bài toán giá trị ban đầu $y'=f(x,y),\ y(x_0)=y_0$ có một nghiệm duy nhất trên một khoảng chứa $x_0$ .

Vì sao đúng?

Điều kiện Lipschitz giới hạn mức độ $f$ có thể biến đổi dốc theo hướng $y$ , điều này ngăn các quỹ đạo nghiệm gần nhau tách rời hoặc cắt nhau: đó chính xác là điều kiện cần để đảm bảo một dòng chảy xác định rõ ràng, với đúng một quỹ đạo đi qua mỗi điểm.

Chứng minh

Viết lại bài toán giá trị ban đầu dưới dạng phương trình tích phân, một hàm liên tục $y(x)$ giải $y'=f(x,y),\ y(x_0)=y_0$ khi và chỉ khi nó giải $y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y(t))\,dt$ ; sự tương đương này suy từ định lý cơ bản của giải tích.

Đặt toán tử lặp Picard $T$ trên các hàm liên tục bởi $T[y](x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y(t))\,dt$ , giới hạn trên một khoảng nhỏ $I=[x_0-h,x_0+h]$ được chọn sao cho $f$ vẫn nằm trong hình chữ nhật nơi các giả thiết đúng.

Với hai hàm liên tục $y_1,y_2$ trên $I$ , điều kiện Lipschitz cho $|T[y_1](x)-T[y_2](x)| \le \int_{x_0}^x |f(t,y_1(t))-f(t,y_2(t))|\,dt \le L\,h\,\sup_{t\in I}|y_1(t)-y_2(t)|$ . Chọn $h$ đủ nhỏ để $Lh<1$ làm cho $T$ là một ánh xạ co trong chuẩn sup.

Theo định lý điểm bất động Banach, một ánh xạ co trên một không gian mêtric đầy đủ (các hàm liên tục trên $I$ với chuẩn sup) có đúng một điểm bất động $y$ , thỏa mãn $y=T[y]$ . Điểm bất động này chính là nghiệm duy nhất của bài toán giá trị ban đầu ban đầu trên $I$ .

Đại họcỨng dụng thực tiễn và Ví dụ minh họa

Phương trình cấp một mô hình hóa tăng trưởng quần thể bị giới hạn bởi tài nguyên (tăng trưởng logistic trong sinh thái học và dịch tễ học), mạch RC đang nạp và xả trong điện tử học, định luật làm nguội Newton trong nhiệt động lực học, phân rã phóng xạ trong vật lý và định tuổi bằng carbon, và lãi kép liên tục với lãi suất thay đổi theo thời gian trong tài chính. Hai ví dụ dưới đây giải trọn vẹn hai dạng phổ biến nhất.

Ví dụ: Tăng trưởng quần thể logistic

Một quần thể $P(t)$ tăng trưởng theo mô hình logistic $\frac{dP}{dt}=rP\left(1-\frac{P}{K}\right)$ với dân số ban đầu $P(0)=P_0$ . Tìm $P(t)$ .

Lời giải

Phương trình này tách biến được: nó viết lại thành $\frac{dP}{P(1-P/K)}=r\,dt$ .

Phân tích thành phân thức đơn giản $\frac{1}{P(1-P/K)}=\frac1P+\frac{1/K}{1-P/K}$ cho phép ta lấy tích phân vế trái từng số hạng một, cho $\ln|P|-\ln|1-P/K|=rt+C_1$ , tức $\ln\left|\frac{P}{K-P}\right|=rt+C_2$ sau khi gộp các hằng số và nhân với $K$ .

Lấy mũ cho $\frac{P}{K-P}=Ae^{rt}$ với hằng số $A$ nào đó; tính tại $t=0$ với $P(0)=P_0$ cho $A=\frac{P_0}{K-P_0}$ .

Giải ra $P$ và rút gọn cho dạng đóng $P(t) = \frac{K P_0 e^{rt}}{K + P_0(e^{rt}-1)}$ , bắt đầu gần $P_0$ và tiến đến sức chứa $K$ khi $t\to\infty$ , chính là đường cong hình chữ S thấy trong dữ liệu quần thể thực tế.

Ví dụ: Nạp điện cho mạch RC

Một tụ điện đang nạp qua một điện trở từ nguồn điện áp không đổi $V$ thỏa mãn $\frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{RC} = \frac{V}{R}$ với $Q(0)=0$ , trong đó $Q(t)$ là điện tích tại thời điểm $t$ . Tìm $Q(t)$ .

Lời giải

Đây là phương trình tuyến tính với $P(t)=\frac{1}{RC}$ và số hạng nguồn $\frac{V}{R}$ , nên thừa số tích phân là $\mu(t)=e^{t/(RC)}$ .

Nhân qua cho $\frac{d}{dt}\left[e^{t/(RC)}Q\right] = \frac{V}{R}e^{t/(RC)}$ ; lấy tích phân hai vế cho $e^{t/(RC)}Q = VC\,e^{t/(RC)} + C_1$ với hằng số $C_1$ nào đó.

Chia cho $e^{t/(RC)}$ cho $Q(t) = VC + C_1 e^{-t/(RC)}$ . Áp dụng $Q(0)=0$ cho $C_1=-VC$ .

Vậy $Q(t)=CV\left(1-e^{-t/(RC)}\right)$ : điện tích tăng từ $0$ đến giá trị cuối cùng $CV$ , với tốc độ tiến đến được chi phối bởi hằng số thời gian $RC$ — chậm hơn với điện trở hoặc tụ điện lớn hơn.

Lỗi hay gặp. Khi tách biến, chia cho

g(y)

âm thầm bỏ mất bất kỳ nghiệm hằng số nào có

g(y)=0

— với phương trình logistic,

P\equiv0

và

P\equiv K

là những nghiệm cân bằng hoàn toàn hợp lệ mà công thức tổng quát

P(t) = \frac{K P_0 e^{rt}}{K + P_0(e^{rt}-1)}

không bao giờ tạo ra với

t

hữu hạn, nên chúng phải được kiểm tra và nêu riêng. Một sai lầm phổ biến khác là áp dụng công thức thừa số tích phân cho một phương trình chưa ở dạng chuẩn

\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)

— nếu hệ số của

y'

không phải

1

, ta phải chia qua trước, nếu không

P(x)

và do đó

\mu(x)

sẽ sai.

Thừa số tích phân cho phương trình tuyến tính cấp một $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ là gì?

Trong mô hình tăng trưởng logistic $\frac{dP}{dt}=rP\left(1-\frac{P}{K}\right)$ , hằng số $K$ biểu thị điều gì?

Giải phương trình tách biến $\frac{dy}{dx}=xy$ với $y(0)=1$ .

Điều kiện nào đảm bảo định lý Picard–Lindelöf cho nghiệm duy nhất của $y'=f(x,y),\ y(x_0)=y_0$ ?

Tài liệu tham khảo

William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade (2017). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems
Morris Tenenbaum, Harry Pollard (1985). Ordinary Differential Equations