Định lý tồn tại–duy nhất Picard–Lindelöf

Viết lại bài toán giá trị ban đầu dưới dạng phương trình tích phân, một hàm liên tục $y(x)$ giải $y'=f(x,y),\ y(x_0)=y_0$ khi và chỉ khi nó giải $y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y(t))\,dt$; sự tương đương này suy từ định lý cơ bản của giải tích.

Đặt toán tử lặp Picard $T$ trên các hàm liên tục bởi $T[y](x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y(t))\,dt$, giới hạn trên một khoảng nhỏ $I=[x_0-h,x_0+h]$ được chọn sao cho $f$ vẫn nằm trong hình chữ nhật nơi các giả thiết đúng.

Với hai hàm liên tục $y_1,y_2$ trên $I$, điều kiện Lipschitz cho $|T[y_1](x)-T[y_2](x)| \le \int_{x_0}^x |f(t,y_1(t))-f(t,y_2(t))|\,dt \le L\,h\,\sup_{t\in I}|y_1(t)-y_2(t)|$. Chọn $h$ đủ nhỏ để $Lh<1$ làm cho $T$ là một ánh xạ co trong chuẩn sup.

Theo định lý điểm bất động Banach, một ánh xạ co trên một không gian mêtric đầy đủ (các hàm liên tục trên $I$ với chuẩn sup) có đúng một điểm bất động $y$, thỏa mãn $y=T[y]$. Điểm bất động này chính là nghiệm duy nhất của bài toán giá trị ban đầu ban đầu trên $I$.