Cấu trúc nghiệm tổng quát theo nghiệm đặc trưng

Thử nghiệm dạng $y=e^{rx}$. Khi đó $y'=re^{rx}$ và $y''=r^2e^{rx}$; thay vào $ay'' + by' + cy = 0$ ta được $(ar^2+br+c)e^{rx}=0$. Vì $e^{rx}$ không bao giờ bằng 0 nên buộc phải có phương trình đặc trưng $ar^2+br+c=0$. Theo công thức nghiệm bậc hai, $r = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Trường hợp $\Delta>0$: hai nghiệm $r_1\neq r_2$ cho hai nghiệm riêng $e^{r_1x}$ và $e^{r_2x}$. Định thức Wronski của chúng là $(r_2-r_1)e^{(r_1+r_2)x}\neq 0$, nên theo định lý chồng chất, nghiệm tổng quát là $y = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x}$.

Trường hợp $\Delta=0$: có một nghiệm kép $r=-b/(2a)$, chỉ cho một nghiệm mũ $e^{rx}$. Để tìm nghiệm độc lập thứ hai, thử $y_2=v(x)e^{rx}$ (hạ bậc) rồi thay vào phương trình; vì $r$ là nghiệm kép của $ar^2+br+c$ nên các số hạng chứa $v$ và $v'$ triệt tiêu, chỉ còn $av''e^{rx}=0$, tức $v''=0$, nên $v=c_1+c_2x$. Điều này cho nghiệm thứ hai $xe^{rx}$, và nghiệm tổng quát $y = (c_1 + c_2 x) e^{r x}$.

Trường hợp $\Delta<0$: nghiệm là hai số phức liên hợp $r = \alpha \pm i\beta$ với $\alpha=-b/(2a)$, $\beta=\sqrt{-\Delta}/(2a)$. Công thức Euler $e^{i\beta x}=\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)$ biến hai nghiệm phức $e^{(\alpha\pm i\beta)x}$ thành hai nghiệm thực độc lập $e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ và $e^{\alpha x}\sin(\beta x)$ (bằng cách lấy phần thực và phần ảo, cũng là nghiệm vì $L$ có hệ số thực), cho nghiệm tổng quát $y = e^{\alpha x}\left(c_1 \cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x)\right)$.