Phương trình vi phân tuyến tính

Phép lấy đạo hàm là một phép toán tuyến tính: đạo hàm của tổng bằng tổng các đạo hàm, hằng số được đưa ra ngoài. Vì vế trái của phương trình chỉ gồm $y$, $y'$, $y''$ nhân hằng số rồi cộng lại, nên khi thay một tổ hợp của hai nghiệm vào, ta chỉ cộng hai số 0 lại với nhau.

Đặt $L[y] = ay''+by'+cy$. Vì đạo hàm thỏa mãn $(u+v)'=u'+v'$ và $(ku)'=ku'$ với hằng số $k$, toán tử $L$ là tuyến tính: $L[c_1y_1+c_2y_2] = a(c_1y_1+c_2y_2)'' + b(c_1y_1+c_2y_2)' + c(c_1y_1+c_2y_2) = c_1(ay_1''+by_1'+cy_1) + c_2(ay_2''+by_2'+cy_2) = c_1L[y_1]+c_2L[y_2]$.

Vì $y_1,y_2$ là nghiệm của phương trình nên $L[y_1]=0$ và $L[y_2]=0$, do đó $L[c_1y_1+c_2y_2]=c_1\cdot 0+c_2\cdot 0=0$: tổ hợp cũng là một nghiệm. Điều này chứng minh nửa đầu.

Với nửa sau, lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính khẳng định không gian nghiệm của phương trình cấp hai có đúng hai chiều (một điều kiện đầu $y(x_0)=y_0$, $y'(x_0)=y_0'$ xác định duy nhất một nghiệm, cho hai tham số tự do). Định thức Wronski khác 0, $W(y_1,y_2)=y_1y_2'-y_2y_1'$, tại một điểm $x_0$ nghĩa là hệ tuyến tính $c_1y_1(x_0)+c_2y_2(x_0)=y_0$, $c_1y_1'(x_0)+c_2y_2'(x_0)=y_0'$ có nghiệm $(c_1,c_2)$ duy nhất với mọi dữ kiện đầu. Vậy mọi nghiệm đều trùng với một $c_1y_1+c_2y_2$ nào đó, tức là $\{y_1,y_2\}$ trải hết toàn bộ không gian nghiệm hai chiều.

Hàm mũ là khối xây dựng tự nhiên vì đạo hàm của $e^{rx}$ chỉ là chính nó nhân $r$; đưa nghiệm thử này vào phương trình tuyến tính hệ số hằng biến giải tích thành đại số — tìm nghiệm một đa thức.

Thử nghiệm dạng $y=e^{rx}$. Khi đó $y'=re^{rx}$ và $y''=r^2e^{rx}$; thay vào $ay'' + by' + cy = 0$ ta được $(ar^2+br+c)e^{rx}=0$. Vì $e^{rx}$ không bao giờ bằng 0 nên buộc phải có phương trình đặc trưng $ar^2+br+c=0$. Theo công thức nghiệm bậc hai, $r = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Trường hợp $\Delta>0$: hai nghiệm $r_1\neq r_2$ cho hai nghiệm riêng $e^{r_1x}$ và $e^{r_2x}$. Định thức Wronski của chúng là $(r_2-r_1)e^{(r_1+r_2)x}\neq 0$, nên theo định lý chồng chất, nghiệm tổng quát là $y = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x}$.

Trường hợp $\Delta=0$: có một nghiệm kép $r=-b/(2a)$, chỉ cho một nghiệm mũ $e^{rx}$. Để tìm nghiệm độc lập thứ hai, thử $y_2=v(x)e^{rx}$ (hạ bậc) rồi thay vào phương trình; vì $r$ là nghiệm kép của $ar^2+br+c$ nên các số hạng chứa $v$ và $v'$ triệt tiêu, chỉ còn $av''e^{rx}=0$, tức $v''=0$, nên $v=c_1+c_2x$. Điều này cho nghiệm thứ hai $xe^{rx}$, và nghiệm tổng quát $y = (c_1 + c_2 x) e^{r x}$.

Trường hợp $\Delta<0$: nghiệm là hai số phức liên hợp $r = \alpha \pm i\beta$ với $\alpha=-b/(2a)$, $\beta=\sqrt{-\Delta}/(2a)$. Công thức Euler $e^{i\beta x}=\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)$ biến hai nghiệm phức $e^{(\alpha\pm i\beta)x}$ thành hai nghiệm thực độc lập $e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ và $e^{\alpha x}\sin(\beta x)$ (bằng cách lấy phần thực và phần ảo, cũng là nghiệm vì $L$ có hệ số thực), cho nghiệm tổng quát $y = e^{\alpha x}\left(c_1 \cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x)\right)$.