Nguyên lý chồng chất

Đặt $L[y] = ay''+by'+cy$. Vì đạo hàm thỏa mãn $(u+v)'=u'+v'$ và $(ku)'=ku'$ với hằng số $k$, toán tử $L$ là tuyến tính: $L[c_1y_1+c_2y_2] = a(c_1y_1+c_2y_2)'' + b(c_1y_1+c_2y_2)' + c(c_1y_1+c_2y_2) = c_1(ay_1''+by_1'+cy_1) + c_2(ay_2''+by_2'+cy_2) = c_1L[y_1]+c_2L[y_2]$.

Vì $y_1,y_2$ là nghiệm của phương trình nên $L[y_1]=0$ và $L[y_2]=0$, do đó $L[c_1y_1+c_2y_2]=c_1\cdot 0+c_2\cdot 0=0$: tổ hợp cũng là một nghiệm. Điều này chứng minh nửa đầu.

Với nửa sau, lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính khẳng định không gian nghiệm của phương trình cấp hai có đúng hai chiều (một điều kiện đầu $y(x_0)=y_0$, $y'(x_0)=y_0'$ xác định duy nhất một nghiệm, cho hai tham số tự do). Định thức Wronski khác 0, $W(y_1,y_2)=y_1y_2'-y_2y_1'$, tại một điểm $x_0$ nghĩa là hệ tuyến tính $c_1y_1(x_0)+c_2y_2(x_0)=y_0$, $c_1y_1'(x_0)+c_2y_2'(x_0)=y_0'$ có nghiệm $(c_1,c_2)$ duy nhất với mọi dữ kiện đầu. Vậy mọi nghiệm đều trùng với một $c_1y_1+c_2y_2$ nào đó, tức là $\{y_1,y_2\}$ trải hết toàn bộ không gian nghiệm hai chiều.