Định lý Pythagoras và mệnh đề đảo

Dựng một hình vuông cạnh $a+b$. Bên trong nó, đặt bốn bản sao của tam giác vuông (cạnh góc vuông $a,b$, cạnh huyền $c$), mỗi bản dọc theo một cạnh của hình vuông lớn, mỗi bản xoay $90°$ so với bản trước, sao cho các góc vuông hướng ra ngoài và các cạnh huyền tạo thành một hình vuông nhỏ hơn bị nghiêng ở giữa.

Diện tích hình vuông lớn có thể tính trực tiếp là $(a+b)^2$. Nó cũng có thể tính bằng tổng diện tích bốn tam giác cộng hình vuông ở giữa: mỗi tam giác có diện tích $\frac{1}{2}ab$, nên bốn tam giác đóng góp $2ab$, và hình vuông ở giữa có cạnh $c$ nên diện tích là $c^2$. Điều này cho cùng diện tích là $2ab + c^2$.

Cho hai cách tính bằng nhau: $a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$. Trừ $2ab$ ở cả hai vế còn lại $a^2 + b^2 = c^2$, chính là định lý Pythagoras.

Với mệnh đề đảo, giả sử tam giác có các cạnh $a,b,c$ thỏa $c^2 = a^2 + b^2$ và gọi $\gamma$ là góc đối diện cạnh $c$. Dựng một tam giác vuông thứ hai với hai cạnh góc vuông đúng bằng $a$ và $b$; gọi cạnh huyền của nó là $c'$. Theo chiều thuận vừa chứng minh, $c'^2 = a^2+b^2 = c^2$, nên $c' = c$ vì cả hai đều là độ dài dương. Hai tam giác lúc này có cả ba cạnh bằng nhau ($a,b,c$ cho tam giác đầu), nên chúng bằng nhau theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh, buộc $\gamma$ phải bằng góc vuông của tam giác thứ hai, tức $\gamma = 90°$.