Định lý Thales, Pythagoras

Đường thẳng song song cắt ra một tam giác đồng dạng với tam giác gốc tính từ đỉnh, và tam giác đồng dạng thì mọi độ dài đều được thu phóng theo cùng một hệ số — nên hai cạnh phải bị chia theo cùng một tỉ số.

Trước hết giả sử $DE \parallel BC$. So sánh $S_{\triangle BDE}$ và $S_{\triangle CDE}$: hai tam giác này có chung đáy $DE$, và vì $DE \parallel BC$ nghĩa là $B$, $C$ nằm trên một đường thẳng song song với $DE$, nên khoảng cách vuông góc từ $B$ tới đường thẳng $DE$ bằng khoảng cách vuông góc từ $C$ tới đường thẳng $DE$. Đáy bằng nhau và chiều cao bằng nhau cho ta $S_{\triangle BDE}$ $=$ $S_{\triangle CDE}$.

Bây giờ so sánh $S_{\triangle ADE}$ với $S_{\triangle BDE}$: xét với đỉnh $E$, tam giác $ADE$ có đáy $AD$ nằm trên đường thẳng $AB$ và tam giác $BDE$ có đáy $DB$ nằm trên cùng đường thẳng đó, cùng chung chiều cao từ $E$ xuống đường thẳng $AB$. Hai tam giác có cùng chiều cao thì diện tích tỉ lệ với đáy, nên $S_{\triangle ADE}$$/$$S_{\triangle BDE}$ $=$ $\frac{AD}{DB}$. Lập luận tương tự với đỉnh $D$ và đáy trên đường thẳng $AC$, ta có $S_{\triangle ADE}$$/$$S_{\triangle CDE}$ $=$ $\frac{AE}{EC}$.

Vì $S_{\triangle BDE}$ $=$ $S_{\triangle CDE}$ từ bước đầu, hai tỉ số trên có cùng mẫu số khi viết lại, nên $\frac{AD}{DB}$ $=$ $S_{\triangle ADE}$$/$$S_{\triangle BDE}$ $=$ $S_{\triangle ADE}$$/$$S_{\triangle CDE}$ $=$ $\frac{AE}{EC}$. Điều này chứng minh $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$.

Với mệnh đề đảo, giả sử $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ đúng. Gọi $E'$ là điểm trên $AC$ sao cho $DE' \parallel BC$; chiều thuận vừa chứng minh cho $AD/DB = AE'/E'C$. Kết hợp với giả thiết $AE/EC = AD/DB$ ta được $AE'/E'C = AE/EC$, và vì điểm chia đoạn $AC$ theo một tỉ số cố định là duy nhất, nên $E' = E$. Do đó $DE = DE' \parallel BC$.

Sắp xếp lại bốn bản sao của cùng một tam giác vuông bên trong một hình vuông lớn để lại một hình vuông nhỏ hơn bị nghiêng ở giữa; tính diện tích hình vuông lớn theo hai cách khác nhau buộc tổng bình phương hai cạnh góc vuông phải bằng bình phương cạnh huyền.

Dựng một hình vuông cạnh $a+b$. Bên trong nó, đặt bốn bản sao của tam giác vuông (cạnh góc vuông $a,b$, cạnh huyền $c$), mỗi bản dọc theo một cạnh của hình vuông lớn, mỗi bản xoay $90°$ so với bản trước, sao cho các góc vuông hướng ra ngoài và các cạnh huyền tạo thành một hình vuông nhỏ hơn bị nghiêng ở giữa.

Diện tích hình vuông lớn có thể tính trực tiếp là $(a+b)^2$. Nó cũng có thể tính bằng tổng diện tích bốn tam giác cộng hình vuông ở giữa: mỗi tam giác có diện tích $\frac{1}{2}ab$, nên bốn tam giác đóng góp $2ab$, và hình vuông ở giữa có cạnh $c$ nên diện tích là $c^2$. Điều này cho cùng diện tích là $2ab + c^2$.

Cho hai cách tính bằng nhau: $a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$. Trừ $2ab$ ở cả hai vế còn lại $a^2 + b^2 = c^2$, chính là định lý Pythagoras.

Với mệnh đề đảo, giả sử tam giác có các cạnh $a,b,c$ thỏa $c^2 = a^2 + b^2$ và gọi $\gamma$ là góc đối diện cạnh $c$. Dựng một tam giác vuông thứ hai với hai cạnh góc vuông đúng bằng $a$ và $b$; gọi cạnh huyền của nó là $c'$. Theo chiều thuận vừa chứng minh, $c'^2 = a^2+b^2 = c^2$, nên $c' = c$ vì cả hai đều là độ dài dương. Hai tam giác lúc này có cả ba cạnh bằng nhau ($a,b,c$ cho tam giác đầu), nên chúng bằng nhau theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh, buộc $\gamma$ phải bằng góc vuông của tam giác thứ hai, tức $\gamma = 90°$.