Định lý cơ bản của xích Markov hữu hạn

Tồn tại và duy nhất. Vì $P$ ngẫu nhiên theo hàng, vectơ toàn số 1 là một vectơ riêng phải với trị riêng 1, nên 1 cũng là trị riêng của $P$ (một ma trận và ma trận chuyển vị của nó có chung trị riêng), và có một vectơ riêng trái tương ứng $\pi$ với $\pi P=\pi$. Tính bất khả quy có nghĩa $P$ là ma trận chuyển của một đồ thị liên thông mạnh, nên định lý Perron–Frobenius áp dụng được: trị riêng 1 là đơn (bội một) và vectơ riêng của nó có thể chọn dương ngặt, cho tính duy nhất sau khi chuẩn hóa để các phần tử có tổng bằng 1.

Hội tụ. Không tuần hoàn cộng với bất khả quy có nghĩa mọi trị riêng khác $\lambda$ của $P$ thỏa $|\lambda|<1$ (đây là phần mà tính tuần hoàn sẽ phá vỡ: một xích tuần hoàn có thêm các trị riêng nằm đúng trên đường tròn đơn vị, chẳng hạn $-1$, không bao giờ tắt dần). Viết một phân phối xuất phát tùy ý $\mu_0$ trong cơ sở riêng của $P$, thành phần dọc theo $\pi$ (trị riêng 1) tồn tại không đổi mãi mãi, trong khi mọi thành phần khác bị nhân với $\lambda^n$ ở bước $n$ và co lại theo cấp số nhân về không.

Kết hợp hai bước, $\mu_0 P^n$ hội tụ về riêng thành phần trị riêng 1, chính là $\pi$, và vì điều này đúng với mọi phân phối xuất phát $\mu_0$ (bao gồm mỗi khối điểm, tức mỗi hàng của ma trận đơn vị), mọi hàng của $P^n$ hội tụ về $\pi$ như đã khẳng định.