Bất đẳng thức tam giác ngược

Bước 1 — Áp dụng bất đẳng thức tam giác hai lần. Theo (M3), $d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$, sắp xếp lại thành $d(x,z) - d(y,z) \le d(x,y)$. Đổi vai trò $x$ và $y$ trong cùng tiên đề đó cho $d(y,z) \le d(y,x) + d(x,z) = d(x,y) + d(x,z)$ (dùng tính đối xứng $d(y,x)=d(x,y)$), sắp xếp lại thành $d(y,z) - d(x,z) \le d(x,y)$, tức $-(d(x,z)-d(y,z)) \le d(x,y)$.

Bước 2 — Kết hợp hai chặn. Hai bất đẳng thức trên nói $d(x,z)-d(y,z) \le d(x,y)$ và $-(d(x,z)-d(y,z)) \le d(x,y)$ đồng thời, đây chính xác là khẳng định $|d(x,z)-d(y,z)| \le d(x,y)$ theo định nghĩa giá trị tuyệt đối: một số thực $u$ thỏa $|u| \le c$ khi và chỉ khi cả $u \le c$ và $-u \le c$ đều đúng.