Với hai toán tử tự liên hợp bất kỳ A^=A^∗, B^=B^∗ trên H và một vectơ đơn vị ψ bất kỳ thuộc miền xác định của A^B^ và B^A^, các độ lệch chuẩn σA=⟨ψ∣(A^−⟨A^⟩)2∣ψ⟩ và σB (kỳ vọng lấy theo trạng thái ψ) thỏa mãn σAσB≥21⟨[A^,B^]⟩, trong đó [A^,B^]=A^B^−B^A^.
Vì sao đúng?
Hai đại lượng quan sát chỉ có thể được đo đồng thời với độ chính xác tuyệt đối nếu các toán tử của chúng giao hoán; độ lớn của giao hoán tử là thước đo trực tiếp cho mức độ "không tương thích" giữa chúng. Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz biến ý tưởng "hai vectơ này không thể cùng ngắn" thành một chặn số cụ thể, và việc tách tích trong thành phần thực và phần ảo chính xác là cách tách giao hoán tử (phần thực sự lượng tử) khỏi phản giao hoán tử (một số hạng tương quan trông có vẻ cổ điển).
Phác thảo chứng minh
Bước 1 (toán tử đã tâm hóa). Đặt ΔA^=A^−⟨A^⟩I và ΔB^=B^−⟨B^⟩I, cả hai vẫn tự liên hợp vì ⟨A^⟩,⟨B^⟩ là các số vô hướng thực. Theo định nghĩa σA2=⟨ψ∣ΔA^2∣ψ⟩=∥ΔA^ψ∥2 và tương tự σB2=∥ΔB^ψ∥2.
Bước 2 (bất đẳng thức Cauchy–Schwarz). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz ∣⟨f∣g⟩∣2≤⟨f∣f⟩⟨g∣g⟩ cho f=ΔA^ψ và g=ΔB^ψ: ∣⟨ΔA^ψ∣ΔB^ψ⟩∣2≤σA2σB2.
Bước 3 (tách phần thực và phần ảo). Viết ⟨ΔA^ψ∣ΔB^ψ⟩=⟨ψ∣ΔA^ΔB^∣ψ⟩. Vì ΔA^,ΔB^ tự liên hợp nên liên hợp phức đổi thứ tự toán tử: ⟨ΔA^ΔB^⟩∗=⟨ΔB^ΔA^⟩. Do đó kỳ vọng của phản giao hoán tử ⟨{ΔA^,ΔB^}⟩=⟨ΔA^ΔB^⟩+⟨ΔB^ΔA^⟩=2Re⟨ΔA^ΔB^⟩ là số thực, còn kỳ vọng của giao hoán tử ⟨[ΔA^,ΔB^]⟩=⟨ΔA^ΔB^⟩−⟨ΔB^ΔA^⟩=2iIm⟨ΔA^ΔB^⟩ là số thuần ảo. Ngoài ra [ΔA^,ΔB^]=[A^,B^], vì các số hạng dịch hằng số triệt tiêu trong giao hoán tử.
Bước 4 (kết hợp lại). Theo định lý Pythagoras áp dụng cho phần thực và phần ảo, ∣⟨ΔA^ΔB^⟩∣2=(Re⟨ΔA^ΔB^⟩)2+(Im⟨ΔA^ΔB^⟩)2=41∣⟨{ΔA^,ΔB^}⟩∣2+41∣⟨[A^,B^]⟩∣2≥41∣⟨[A^,B^]⟩∣2, bỏ đi số hạng phản giao hoán tử vốn không âm. Kết hợp với Bước 2, σA2σB2≥41∣⟨[A^,B^]⟩∣2, lấy căn bậc hai (cả hai vế đều không âm) ta được σAσB≥21⟨[A^,B^]⟩.