MathLabs

Vật lý toán

Cơ sở toán học của cơ học lượng tử

Giải tích hàm và lý thuyết toán tử làm cho cơ học lượng tử trở nên chặt chẽ về mặt toán học.

Trực giácTrạng thái lượng tử như vectơ, đại lượng quan sát như dụng cụ đo

Hãy hình dung mọi trạng thái có thể có của một hệ lượng tử — spin của electron, vị trí của một hạt, phân cực của photon — như một mũi tên (một vectơ) trong một không gian có thể vô hạn chiều, và mọi đại lượng vật lý ta có thể đo — vị trí, động lượng, năng lượng — không phải là một con số gắn với mũi tên đó, mà là một dụng cụ: một phép biến đổi tuyến tính tác động lên mũi tên, và khi đo, buộc nó phải "nhảy" tới một trong những hướng đặc biệt của chính dụng cụ đó rồi đọc ra con số tương ứng. Chỉ một bức tranh duy nhất này — vectơ, và các dụng cụ tác động lên chúng — đã là toàn bộ khung xương toán học của cơ học lượng tử; tính bất định, sự lượng tử hóa và giao thoa chỉ là những gì xảy ra khi ta xem bức tranh đó nghiêm túc và đi theo toán học tới cùng.

Sự chồng chập của các sóng phẳng hình sin có tần số tăng dần tạo thành một gói sóng định xứ, với một thanh trượt điều khiển số họa tần được cộng vào.
Một gói sóng được dựng bằng cách chồng chập nhiều trạng thái riêng động lượng eikxe^{ikx}; tăng số họa tần nn làm gói sóng hẹp lại trong không gian vị trí nhưng lại trải rộng ra trong không gian động lượng — đó chính là bộ mặt Fourier của nguyên lý bất định.

Phổ thôngTừ hàm sóng đến không gian Hilbert

Định nghĩa: Không gian Hilbert và trạng thái lượng tử

Một không gian Hilbert H\mathcal H là một không gian vectơ phức được trang bị một tích trong ⟨⋅,⋅⟩\langle\cdot,\cdot\rangle và đầy đủ (mọi dãy Cauchy đều hội tụ) theo chuẩn ∥ψ∥=⟨ψ,ψ⟩\|\psi\|=\sqrt{\langle\psi,\psi\rangle}. Với một hạt chuyển động trong dd chiều, không gian liên quan là H=L2(Rd)\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R}^d), các hàm phức bình phương khả tích ψ(x)\psi(x) với ∫Rd∣ψ(x)∣2 dx<∞\int_{\mathbb R^d}|\psi(x)|^2\,dx<\infty. Một trạng thái lượng tử thuần khiết là một vectơ đơn vị ψ∈H\psi\in\mathcal H (chính xác hơn, một tia {eiθψ}\{e^{i\theta}\psi\}, vì pha tổng thể không quan sát được), và ∣ψ(x)∣2|\psi(x)|^2 được hiểu là mật độ xác suất tìm thấy hạt tại xx.

⟨ψ,φ⟩=∫Rdψ(x)‾ φ(x) dx,∥ψ∥2=⟨ψ,ψ⟩=∫Rd∣ψ(x)∣2 dx=1\langle \psi,\varphi\rangle = \int_{\mathbb{R}^d} \overline{\psi(x)}\,\varphi(x)\,dx, \qquad \|\psi\|^2=\langle\psi,\psi\rangle=\int_{\mathbb{R}^d}|\psi(x)|^2\,dx = 1

Một đại lượng vật lý — vị trí, động lượng, năng lượng, spin — được biểu diễn không phải bởi một con số mà bởi một toán tử tự liên hợp (Hermitian) A^\hat A trên H\mathcal H, tức là A^=A^∗\hat{A} = \hat{A}^*: với mọi ψ,φ\psi,\varphi trong miền xác định của nó, ⟨ψ,A^φ⟩=⟨A^ψ,φ⟩\langle\psi,\hat A\varphi\rangle=\langle\hat A\psi,\varphi\rangle. Tính tự liên hợp chính là điều kiện đại số buộc các kết quả đo khả dĩ (phổ của A^\hat A) phải là số thực, và đảm bảo các vectơ riêng ứng với trị riêng khác nhau trực giao với nhau — đó là lý do toán học vì sao phép đo một đại lượng vật lý thực luôn cho một con số thực.

iℏ ∂tψ(x,t)=H^ψ(x,t),H^=−ℏ22m∇2+V(x),U^(t)=e−itH^/ℏi\hbar\,\partial_t \psi(x,t) = \hat H\psi(x,t), \qquad \hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(x), \qquad \hat U(t)=e^{-i t\hat H/\hbar}

Định lý Stone nói rằng hai bức tranh này chỉ là một sự thật nhìn theo hai cách: một nhóm một tham số liên tục mạnh gồm các toán tử unita U^(t)\hat U(t) (tiến hóa theo thời gian bảo toàn tổng xác suất, U^(t)∗U^(t)=I\hat U(t)^*\hat U(t)=I) luôn luôn có dạng U^(t)=e−itH^/ℏ\hat{U}(t) = e^{-i t \hat{H}/\hbar} với một toán tử tự liên hợp duy nhất H^\hat H, chính là Hamiltonian — và ngược lại, mọi H^\hat H tự liên hợp đều sinh ra một nhóm như vậy. Lấy đạo hàm U^(t)ψ\hat U(t)\psi tại t=0t=0 ta thu lại phương trình Schrödinger iℏ∂tψ=H^ψi\hbar \partial_t \psi = \hat{H}\psi: hai cách phát biểu này tương đương logic với nhau, cùng mô tả một động lực học.

Mô tả cổ điển và mô tả lượng tử của một hệ vật lý
Khái niệmCơ học cổ điểnCơ học lượng tử
Trạng tháiMột điểm (x,p)(x,p) trong không gian phaMột vectơ đơn vị ψ∈\psi\in H=L2(Rd)\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R}^d)
Đại lượng quan sátMột hàm f(x,p)f(x,p) trên không gian phaMột toán tử tự liên hợp A^=A^∗\hat{A} = \hat{A}^*
Kết quả đoChính xác là giá trị f(x,p)f(x,p)Một trị riêng của A^\hat A, với xác suất ∣⟨e∣ψ⟩∣2|\langle e|\psi\rangle|^2
Tiến hóa theo thời gianPhương trình Hamilton q˙=∂H/∂p\dot q=\partial H/\partial pDòng unita U^(t)=e−itH^/ℏ\hat{U}(t) = e^{-i t \hat{H}/\hbar}

Đại họcCác định lý làm cho bức tranh trở nên chặt chẽ

Định lý: Nguyên lý bất định Robertson–Heisenberg

Với hai toán tử tự liên hợp bất kỳ A^=A^∗\hat A=\hat A^*, B^=B^∗\hat B=\hat B^* trên H\mathcal H và một vectơ đơn vị ψ\psi bất kỳ thuộc miền xác định của A^B^\hat A\hat B và B^A^\hat B\hat A, các độ lệch chuẩn σA=⟨ψ∣(A^−⟨A^⟩)2∣ψ⟩\sigma_A=\sqrt{\langle\psi|(\hat A-\langle\hat A\rangle)^2|\psi\rangle} và σB\sigma_B (kỳ vọng lấy theo trạng thái ψ\psi) thỏa mãn σAσB≥12∣⟨[A^,B^]⟩∣\sigma_A \sigma_B \ge \tfrac{1}{2}\left|\langle [\hat{A},\hat{B}]\rangle\right|, trong đó [A^,B^]=A^B^−B^A^[\hat A,\hat B]=\hat A\hat B-\hat B\hat A.

Vì sao đúng?

Hai đại lượng quan sát chỉ có thể được đo đồng thời với độ chính xác tuyệt đối nếu các toán tử của chúng giao hoán; độ lớn của giao hoán tử là thước đo trực tiếp cho mức độ "không tương thích" giữa chúng. Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz biến ý tưởng "hai vectơ này không thể cùng ngắn" thành một chặn số cụ thể, và việc tách tích trong thành phần thực và phần ảo chính xác là cách tách giao hoán tử (phần thực sự lượng tử) khỏi phản giao hoán tử (một số hạng tương quan trông có vẻ cổ điển).

Chứng minh

Bước 1 (toán tử đã tâm hóa). Đặt ΔA^=A^−⟨A^⟩I\Delta\hat A=\hat A-\langle\hat A\rangle I và ΔB^=B^−⟨B^⟩I\Delta\hat B=\hat B-\langle\hat B\rangle I, cả hai vẫn tự liên hợp vì ⟨A^⟩,⟨B^⟩\langle\hat A\rangle,\langle\hat B\rangle là các số vô hướng thực. Theo định nghĩa σA2=⟨ψ∣ΔA^2∣ψ⟩=∥ΔA^ ψ∥2\sigma_A^2=\langle\psi|\Delta\hat A^2|\psi\rangle=\|\Delta\hat A\,\psi\|^2 và tương tự σB2=∥ΔB^ ψ∥2\sigma_B^2=\|\Delta\hat B\,\psi\|^2.

Bước 2 (bất đẳng thức Cauchy–Schwarz). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz ∣⟨f∣g⟩∣2≤⟨f∣f⟩⟨g∣g⟩|\langle f|g\rangle|^2\le\langle f|f\rangle\langle g|g\rangle cho f=ΔA^ ψf=\Delta\hat A\,\psi và g=ΔB^ ψg=\Delta\hat B\,\psi: ∣⟨ΔA^ ψ∣ΔB^ ψ⟩∣2≤σA2 σB2.|\langle\Delta\hat A\,\psi|\Delta\hat B\,\psi\rangle|^2 \le \sigma_A^2\,\sigma_B^2.

Bước 3 (tách phần thực và phần ảo). Viết ⟨ΔA^ ψ∣ΔB^ ψ⟩=⟨ψ∣ΔA^ΔB^∣ψ⟩\langle\Delta\hat A\,\psi|\Delta\hat B\,\psi\rangle=\langle\psi|\Delta\hat A\Delta\hat B|\psi\rangle. Vì ΔA^,ΔB^\Delta\hat A,\Delta\hat B tự liên hợp nên liên hợp phức đổi thứ tự toán tử: ⟨ΔA^ΔB^⟩∗=⟨ΔB^ΔA^⟩\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle^*=\langle\Delta\hat B\Delta\hat A\rangle. Do đó kỳ vọng của phản giao hoán tử ⟨{ΔA^,ΔB^}⟩=⟨ΔA^ΔB^⟩+⟨ΔB^ΔA^⟩=2 Re⟨ΔA^ΔB^⟩\langle\{\Delta\hat A,\Delta\hat B\}\rangle=\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle+\langle\Delta\hat B\Delta\hat A\rangle=2\,\mathrm{Re}\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle là số thực, còn kỳ vọng của giao hoán tử ⟨[ΔA^,ΔB^]⟩=⟨ΔA^ΔB^⟩−⟨ΔB^ΔA^⟩=2i Im⟨ΔA^ΔB^⟩\langle[\Delta\hat A,\Delta\hat B]\rangle=\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle-\langle\Delta\hat B\Delta\hat A\rangle=2i\,\mathrm{Im}\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle là số thuần ảo. Ngoài ra [ΔA^,ΔB^]=[A^,B^][\Delta\hat A,\Delta\hat B]=[\hat A,\hat B], vì các số hạng dịch hằng số triệt tiêu trong giao hoán tử.

Bước 4 (kết hợp lại). Theo định lý Pythagoras áp dụng cho phần thực và phần ảo, ∣⟨ΔA^ΔB^⟩∣2=(Re⟨ΔA^ΔB^⟩)2+(Im⟨ΔA^ΔB^⟩)2=14∣⟨{ΔA^,ΔB^}⟩∣2+14∣⟨[A^,B^]⟩∣2≥14∣⟨[A^,B^]⟩∣2,|\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle|^2=\big(\mathrm{Re}\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle\big)^2+\big(\mathrm{Im}\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle\big)^2=\tfrac14|\langle\{\Delta\hat A,\Delta\hat B\}\rangle|^2+\tfrac14|\langle[\hat A,\hat B]\rangle|^2 \ge \tfrac14|\langle[\hat A,\hat B]\rangle|^2, bỏ đi số hạng phản giao hoán tử vốn không âm. Kết hợp với Bước 2, σA2σB2≥14∣⟨[A^,B^]⟩∣2\sigma_A^2\sigma_B^2\ge\tfrac14|\langle[\hat A,\hat B]\rangle|^2, lấy căn bậc hai (cả hai vế đều không âm) ta được σAσB≥12∣⟨[A^,B^]⟩∣\sigma_A \sigma_B \ge \tfrac{1}{2}\left|\langle [\hat{A},\hat{B}]\rangle\right|.

Định lý: Phổ rời rạc của dao động tử điều hòa lượng tử

Hamiltonian H^=P^22m+12mω2X^2\hat H=\dfrac{\hat P^2}{2m}+\dfrac12 m\omega^2\hat X^2, với [X^,P^]=iℏ[\hat X,\hat P]=i\hbar, có phổ rời rạc, không suy biến En=ℏω(n+12)E_n = \hbar\omega\left(n+\tfrac12\right), n=0,1,2,…n=0,1,2,\dots.

Vì sao đúng?

Thay vì giải trực tiếp một phương trình vi phân, ta phân tích Hamiltonian một cách đại số thành toán tử "nâng" và "hạ", giống hệt cách phân tích một dạng toàn phương. Tính không âm của toán tử số thu được, cùng với đại số cho biết các toán tử thang bậc dịch chuyển trị riêng của nó một đơn vị, buộc các trị riêng phải tạo thành một thang cách đều bắt đầu từ một bậc thấp nhất không âm — sự lượng tử hóa năng lượng chỉ đến từ đại số thuần túy.

Chứng minh

Bước 1 (toán tử thang bậc). Đặt a^=mω2ℏ(X^+imωP^)\hat a=\sqrt{\tfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat X+\tfrac{i}{m\omega}\hat P\right) và a^†=mω2ℏ(X^−imωP^)\hat a^\dagger=\sqrt{\tfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat X-\tfrac{i}{m\omega}\hat P\right). Dùng [X^,P^]=iℏ[\hat X,\hat P]=i\hbar, tính trực tiếp ta được [a^,a^†]=mω2ℏ(−imω[X^,P^]+imω[P^,X^])=12ℏ(ℏ+ℏ)=1[\hat a,\hat a^\dagger]=\tfrac{m\omega}{2\hbar}\left(\tfrac{-i}{m\omega}[\hat X,\hat P]+\tfrac{i}{m\omega}[\hat P,\hat X]\right)=\tfrac{1}{2\hbar}\left(\hbar+\hbar\right)=1.

Bước 2 (viết lại Hamiltonian). Nghịch đảo lại, X^=ℏ2mω(a^+a^†)\hat X=\sqrt{\tfrac{\hbar}{2m\omega}}(\hat a+\hat a^\dagger) và P^=imωℏ2(a^†−a^)\hat P=i\sqrt{\tfrac{m\omega\hbar}{2}}(\hat a^\dagger-\hat a); thay vào H^=P^22m+12mω2X^2\hat H=\tfrac{\hat P^2}{2m}+\tfrac12 m\omega^2\hat X^2 và dùng [a^,a^†]=1[\hat a,\hat a^\dagger]=1 để sắp lại thứ tự các số hạng, ta được H^=ℏω(a^†a^+12)\hat H=\hbar\omega\left(\hat a^\dagger\hat a+\tfrac12\right). Đặt toán tử số N^=a^†a^\hat N=\hat a^\dagger\hat a; toán tử này tự liên hợp, và với mọi trạng thái ϕ\phi, ⟨ϕ∣N^∣ϕ⟩=∥a^ϕ∥2≥0\langle\phi|\hat N|\phi\rangle=\|\hat a\phi\|^2\ge0, nên mọi trị riêng nn của N^\hat N thỏa n≥0n\ge0.

Bước 3 (hệ thức thang bậc). Từ [a^,a^†]=1[\hat a,\hat a^\dagger]=1 ta có [N^,a^]=−a^[\hat N,\hat a]=-\hat a và [N^,a^†]=a^†[\hat N,\hat a^\dagger]=\hat a^\dagger. Vậy nếu N^∣n⟩=n∣n⟩\hat N|n\rangle=n|n\rangle thì N^a^=a^N^−a^=a^(N^−1)\hat N\hat a=\hat a\hat N-\hat a=\hat a(\hat N-1), cho N^(a^∣n⟩)=(n−1)(a^∣n⟩)\hat N(\hat a|n\rangle)=(n-1)(\hat a|n\rangle): a^\hat a làm giảm trị riêng đi 11 (hoặc triệt tiêu trạng thái), và a^†\hat a^\dagger làm tăng trị riêng thêm 11.

Bước 4 (sự dừng lại và phổ). Vì N^≥0\hat N\ge0, áp dụng a^\hat a liên tiếp lên một trạng thái riêng bất kỳ không thể tạo ra trị riêng nhỏ hơn 00; chuỗi giảm dần n,n−1,n−2,…n,n-1,n-2,\dots phải dừng tại n=0n=0 (một giá trị khởi đầu không nguyên sẽ buộc xuất hiện một trị riêng âm sau hữu hạn bước, mâu thuẫn), nên mọi trị riêng của N^\hat N là số nguyên không âm, và trạng thái cơ bản ∣0⟩|0\rangle thỏa a^∣0⟩=0\hat a|0\rangle=0. Áp dụng a^†\hat a^\dagger liên tiếp lên ∣0⟩|0\rangle tạo ra các trạng thái riêng chuẩn hóa được ∣n⟩∝(a^†)n∣0⟩|n\rangle\propto(\hat a^\dagger)^n|0\rangle cho mọi n=0,1,2,…n=0,1,2,\dots, và không còn trạng thái nào khác. Thay N^∣n⟩=n∣n⟩\hat N|n\rangle=n|n\rangle vào H^=ℏω(N^+12)\hat H=\hbar\omega(\hat N+\tfrac12) ta được En=ℏω(n+12)E_n = \hbar\omega\left(n+\tfrac12\right).

Đại họcỨng dụng thực tiễn và Ví dụ minh họa

Đây không phải là những khái niệm trừu tượng chỉ có trong sách giáo khoa. Hiệu ứng đường ngầm lượng tử (quantum tunneling) — một hệ quả trực tiếp của việc phương trình Schrödinger là một phương trình sóng, chứ không phải phương trình quỹ đạo hạt — là điều cho phép ô nhớ flash lưu trữ một bit bằng cách đẩy electron xuyên qua một rào cách điện, và cho phép kính hiển vi quét đường ngầm (STM) tạo ảnh từng nguyên tử riêng lẻ bằng cách đo dòng đường ngầm. Các mức năng lượng rời rạc theo kiểu được định lý phổ đảm bảo chính là điều máy MRI đọc ra dưới dạng tần số cộng hưởng, và là điều một qubit siêu dẫn dùng hai mức năng lượng thấp nhất ∣0⟩,∣1⟩|0\rangle,|1\rangle của nó để lưu thông tin lượng tử; nguyên lý bất định đặt ra giới hạn nhiễu tối hậu cho việc trạng thái của một qubit như vậy có thể được đo và điều khiển chính xác đến mức nào.

Ví dụ: Dòng đường ngầm trong kính hiển vi quét đường ngầm

Một electron tiến gần một rào thế hình chữ nhật cao V0=4.0 eVV_0=4.0\,\text{eV} (khe chân không giữa đầu dò STM và bề mặt kim loại) rộng L=0.50 nmL=0.50\,\text{nm}, với động năng E=3.0 eV<V0E=3.0\,\text{eV}<V_0. Dùng hệ số truyền qua T≈16EV0(1−EV0)e−2κLT\approx 16\dfrac{E}{V_0}\left(1-\dfrac{E}{V_0}\right)e^{-2\kappa L} với κ=2m(V0−E)ℏ\kappa=\dfrac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}, hãy ước lượng TT, và giải thích vì sao đưa đầu dò lại gần thêm 0.1 nm0.1\,\text{nm} đã làm dòng đường ngầm thay đổi mạnh đến vậy.

Lời giải

Bước 1: tính κ\kappa. Với V0−E=1.0 eV=1.6×10−19 JV_0-E=1.0\,\text{eV}=1.6\times10^{-19}\,\text{J}, m=9.11×10−31 kgm=9.11\times10^{-31}\,\text{kg}, ℏ=1.055×10−34 J⋅s\hbar=1.055\times10^{-34}\,\text{J·s}: κ=2m(V0−E)/ℏ≈5.1×109 m−1\kappa=\sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar\approx 5.1\times10^{9}\,\text{m}^{-1}, tức khoảng 5.1 nm−15.1\,\text{nm}^{-1}.

Bước 2: tính số mũ. 2κL≈2×5.1 nm−1×0.50 nm≈5.12\kappa L\approx 2\times5.1\,\text{nm}^{-1}\times0.50\,\text{nm}\approx5.1, nên e−2κL≈e−5.1≈6.1×10−3e^{-2\kappa L}\approx e^{-5.1}\approx6.1\times10^{-3}.

Bước 3: ghép lại tính TT. Hệ số đứng trước 16EV0(1−EV0)=16×0.75×0.25=3.016\frac{E}{V_0}(1-\frac{E}{V_0})=16\times0.75\times0.25=3.0, nên T≈3.0×6.1×10−3≈1.8×10−2T\approx3.0\times6.1\times10^{-3}\approx1.8\times10^{-2}.

Bước 4: độ nhạy với khoảng cách. Vì T∝e−2κLT\propto e^{-2\kappa L}, giảm LL đi 0.1 nm0.1\,\text{nm} nhân TT lên với e2κ×0.1 nm=e1.02≈2.8e^{2\kappa\times0.1\,\text{nm}}=e^{1.02}\approx2.8 — dòng đường ngầm tăng vọt gần gấp ba chỉ từ một thay đổi khoảng cách cỡ dưới nguyên tử. Độ nhạy theo hàm mũ này là điều cho phép STM phân giải từng nguyên tử riêng lẻ.

Ví dụ: Bất định tối thiểu của một qubit spin-1/2

Một qubit siêu dẫn được chuẩn bị ở trạng thái ∣0⟩|0\rangle (spin hướng lên theo trục zz), một trạng thái riêng của σ^z\hat\sigma_z với trị riêng +1+1. Dùng các toán tử Pauli σ^x,σ^y,σ^z\hat\sigma_x,\hat\sigma_y,\hat\sigma_z (mỗi toán tử tự liên hợp, có trị riêng ±1\pm1, và [σ^x,σ^y]=2iσ^z[\hat\sigma_x,\hat\sigma_y]=2i\hat\sigma_z), hãy tính σσx\sigma_{\sigma_x} và σσy\sigma_{\sigma_y} ở trạng thái này và kiểm tra chặn Robertson–Heisenberg cho cặp (σ^x,σ^y)(\hat\sigma_x,\hat\sigma_y).

Lời giải

Bước 1: các giá trị kỳ vọng tại ∣0⟩|0\rangle. Vì ∣0⟩|0\rangle chỉ là trạng thái riêng của σ^z\hat\sigma_z, còn σ^x,σ^y\hat\sigma_x,\hat\sigma_y lật nó sang trạng thái trực giao ∣1⟩|1\rangle, nên ⟨0∣σ^x∣0⟩=⟨0∣σ^y∣0⟩=0\langle0|\hat\sigma_x|0\rangle=\langle0|\hat\sigma_y|0\rangle=0 trong khi ⟨0∣σ^z∣0⟩=1\langle0|\hat\sigma_z|0\rangle=1.

Bước 2: các phương sai. Vì σ^x2=σ^y2=I\hat\sigma_x^2=\hat\sigma_y^2=I, σσx2=⟨0∣σ^x2∣0⟩−⟨0∣σ^x∣0⟩2=1−0=1\sigma_{\sigma_x}^2=\langle0|\hat\sigma_x^2|0\rangle-\langle0|\hat\sigma_x|0\rangle^2=1-0=1, và tương tự σσy2=1\sigma_{\sigma_y}^2=1; vậy σσx=σσy=1\sigma_{\sigma_x}=\sigma_{\sigma_y}=1 và σσxσσy=1\sigma_{\sigma_x}\sigma_{\sigma_y}=1.

Bước 3: chặn Robertson–Heisenberg. 12∣⟨0∣[σ^x,σ^y]∣0⟩∣=12∣⟨0∣2iσ^z∣0⟩∣=∣⟨0∣σ^z∣0⟩∣=1\frac12|\langle0|[\hat\sigma_x,\hat\sigma_y]|0\rangle|=\frac12|\langle0|2i\hat\sigma_z|0\rangle|=|\langle0|\hat\sigma_z|0\rangle|=1.

Bước 4: so sánh. Tích 11 bằng đúng chặn 11: ∣0⟩|0\rangle là trạng thái bất định tối thiểu đối với (σ^x,σ^y)(\hat\sigma_x,\hat\sigma_y), nghĩa là phép đo σ^x\hat\sigma_x hoặc σ^y\hat\sigma_y trên một qubit chuẩn bị theo zz là ngẫu nhiên tối đa (50/50).

Giao hoán tử [X^,P^]=iℏ[\hat X,\hat P] = i\hbar bằng bao nhiêu?

Theo định lý Stone, để U^(t)=e−itH^/ℏ\hat{U}(t) = e^{-i t \hat{H}/\hbar} là unita với mọi tt, H^\hat H phải là gì?

Một dao động tử điều hòa lượng tử có ℏω=2 eV\hbar\omega=2\,\text{eV}. Năng lượng mức n=1n=1 của nó là bao nhiêu?

Trong kính hiển vi quét đường ngầm, độ nhạy cực cao của dòng đường ngầm theo khoảng cách đầu dò–mẫu đến từ đặc điểm nào của T≈16EV0(1−EV0)e−2κLT\approx 16\frac{E}{V_0}(1-\frac{E}{V_0})e^{-2\kappa L}?

Tài liệu tham khảo

  1. John von Neumann (1955). Mathematical Foundations of Quantum Mechanics
  2. Howard P. Robertson (1929). The Uncertainty Principle · DOI:10.1103/PhysRev.34.163
  3. Marshall H. Stone (1932). On One-Parameter Unitary Groups in Hilbert Space · DOI:10.2307/1968538