和と差の平方

ステップ1(展開による代数的証明)。分配法則を二回使うと、$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^2+2ab+b^2$ となる。これは $a\cdot b$ と $b\cdot a$ が同じ積を二回数えたものだからである。

ステップ2(面積による幾何学的証明)。一辺の長さが $a+b$ の正方形を描く。ある角から距離 $a$ の位置に水平線と垂直線を一本ずつ引いて切る。これにより大きな正方形は四つの部分に分かれる。一辺 $a$ の正方形(面積 $a^2$)、一辺 $b$ の正方形(面積 $b^2$)、そして寸法 $a\times b$ の長方形二つ(それぞれ面積 $ab$)である。四つの面積を足すと $a^2+2ab+b^2$ となり、この四つの部分がちょうど元の正方形を敷き詰めるので、この和は $(a+b)^2$ に等しくなければならない。

ステップ3(差の平方版、置き換えによる)。最初の恒等式で $b$ を $-b$ に置き換えると $(a-b)^2=(a+(-b))^2=a^2+2a(-b)+(-b)^2=a^2-2ab+b^2$ となり、別の幾何的な図さえ必要ない——代数だけで結果が自動的に移される。