Tổng các độ lệch so với trung bình bằng không

Khai triển tổng bằng cách phân phối: $\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x) = \sum_{i=1}^{n}x_i - \sum_{i=1}^{n}\bar x$. Tổng thứ hai cộng hằng số $\bar x$ với chính nó $n$ lần, nên $\sum_{i=1}^{n}\bar x = n\bar x$.

Theo định nghĩa, $\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$, nên nhân cả hai vế với $n$ ta được $n\bar x = \sum_{i=1}^{n}x_i$. Đây chính xác là cùng đại lượng với tổng thứ nhất trong khai triển ở trên.

Thay lại, $\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x) = \sum_{i=1}^{n}x_i - n\bar x = \sum_{i=1}^{n}x_i - \sum_{i=1}^{n}x_i = 0$, điều này chứng minh khẳng định.