Định lý đường phân giác

Bước 1 (so sánh diện tích dùng chung đường cao hạ từ $A$). Hai tam giác $\triangle ABD$ và $\triangle ACD$ có chung đường cao hạ từ đỉnh $A$ xuống đường thẳng $BC$, nên diện tích của chúng tỉ lệ với hai cạnh đáy trên $BC$: $\dfrac{S(\triangle ABD)}{S(\triangle ACD)} = \dfrac{BD}{DC}$.

Bước 2 (so sánh cùng hai diện tích đó khi lấy $AB$ và $AC$ làm đáy). Vì $D$ nằm trên tia phân giác của góc $A$, khoảng cách vuông góc từ $D$ tới hai cạnh của góc bằng nhau: $d(D, AB) = d(D, AC)$. Khi lấy $AB$ và $AC$ làm đáy của $\triangle ABD$ và $\triangle ACD$, hai khoảng cách bằng nhau đó chính là hai đường cao tương ứng, nên tỉ số diện tích cũng bằng tỉ số hai đáy này: $\dfrac{S(\triangle ABD)}{S(\triangle ACD)} = \dfrac{AB}{AC}$.

Bước 3 (cho hai biểu thức bằng nhau). Vì cả hai vế phải đều bằng cùng một tỉ số diện tích, kết hợp Bước 1 và Bước 2 cho ngay $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$, hoàn tất chứng minh.