Lớp 7

Tam giác và các đường đặc biệt

Đa giác đơn giản nhất $\triangle ABC$ , cùng các đường trung tuyến, phân giác ( $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ ), đường cao và trung trực của nó.

Trực giácBa đỉnh, bốn điểm đồng quy kỳ diệu

Lấy một tam giác $\triangle ABC$ bất kỳ trên tờ giấy và vẽ ba đường trung tuyến (mỗi đường nối một đỉnh với trung điểm cạnh đối diện). Dù tam giác lệch đến đâu, cả ba đường vẫn đi qua một điểm duy nhất $G$ , trọng tâm — đúng điểm cân bằng mà một miếng bìa hình $\triangle ABC$ có thể đặt thăng bằng trên đầu kim! Phép màu tương tự xảy ra thêm ba lần nữa: ba đường phân giác gặp nhau tại $I$ (tâm đường tròn nội tiếp), ba đường cao gặp nhau tại $H$ (trực tâm), và ba đường trung trực gặp nhau tại $O$ (tâm đường tròn ngoại tiếp). Hình bên dưới cho thấy ba đường trung tuyến của $\triangle ABC$ cắt nhau tại trọng tâm $G$ (kéo thanh trượt để dời đỉnh và thấy tỉ số $AG : GA'$ luôn bằng $2 : 1$ ), bản xem trước của cấu trúc hình học mà ta sẽ chứng minh bên dưới.

Ba đường trung tuyến của

\triangle ABC

cắt nhau tại trọng tâm

G

, và

G

chia mỗi trung tuyến theo tỉ số

2 : 1

tính từ đỉnh. Thanh trượt dời đỉnh

A

dọc theo một đường song song với

BC

; tỉ số vẫn là

2 : 1

Phổ thôngĐịnh nghĩa và bốn đường đặc biệt

Định nghĩa: Tổng ba góc và bốn đường đặc biệt của tam giác

Trong mọi tam giác $\triangle ABC$ trên mặt phẳng Euclid, tổng ba góc trong luôn bằng một góc bẹt:

\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ

Đường phân giác $AD$ của góc $A$ (với $D$ trên $BC$ ) chia cạnh đối diện theo đúng tỉ số hai cạnh kề, và ba đường trung tuyến gặp nhau tại trọng tâm $G$ ở vị trí hai phần ba tính từ mỗi đỉnh:

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}

Ba đường phân giác trong của

\triangle ABC

cắt nhau tại tâm nội tiếp

I

, tâm của đường tròn nội tiếp bán kính

r = \dfrac{2S}{a+b+c}

. Chân

D

của phân giác kẻ từ

A

chia

BC

theo tỉ số

AB : AC

. Thanh trượt dời đỉnh

A

G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3},\, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right), \qquad AG = \frac{2}{3} AM

Bốn đường đặc biệt và điểm đồng quy của chúng
Đường	Định nghĩa	Điểm đồng quy	Tính chất chính
Trung tuyến	đỉnh tới trung điểm cạnh đối	Trọng tâm $G$	$AG = \dfrac{2}{3} AM$ (chia theo tỉ số $2:1$ )
Phân giác	chia đôi góc ở đỉnh	Tâm nội tiếp $I$	cách đều ba cạnh; $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$
Đường cao	từ đỉnh vuông góc cạnh đối	Trực tâm $H$	nằm trong khi và chỉ khi tam giác nhọn
Trung trực	vuông góc tại trung điểm cạnh	Tâm ngoại tiếp $O$	cách đều ba đỉnh

Ba đường cao của

\triangle ABC

cắt nhau tại trực tâm

H

. Kéo đỉnh

A

đủ xa để tam giác thành tù:

H

nằm ngoài tam giác và các đường cao chỉ cắt nhau ở phần kéo dài.

Đại họcHai định lý trọng tâm và chứng minh

Định lý: Định lý đường phân giác

Trong $\triangle ABC$ , nếu đường phân giác trong của góc $A$ cắt cạnh $BC$ tại $D$ , thì $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ .

Vì sao đúng?

Định lý này chuyển thông tin về góc (rằng $AD$ chia đôi góc $A$ ) trực tiếp thành tỉ số độ dài trên cạnh đối diện, giúp tìm chính xác vị trí chân đường phân giác chỉ từ độ dài ba cạnh của $\triangle ABC$ .

Chứng minh

Bước 1 (so sánh diện tích dùng chung đường cao hạ từ $A$ ). Hai tam giác $\triangle ABD$ và $\triangle ACD$ có chung đường cao hạ từ đỉnh $A$ xuống đường thẳng $BC$ , nên diện tích của chúng tỉ lệ với hai cạnh đáy trên $BC$ : $\dfrac{S(\triangle ABD)}{S(\triangle ACD)} = \dfrac{BD}{DC}$ .

Bước 2 (so sánh cùng hai diện tích đó khi lấy $AB$ và $AC$ làm đáy). Vì $D$ nằm trên tia phân giác của góc $A$ , khoảng cách vuông góc từ $D$ tới hai cạnh của góc bằng nhau: $d(D, AB) = d(D, AC)$ . Khi lấy $AB$ và $AC$ làm đáy của $\triangle ABD$ và $\triangle ACD$ , hai khoảng cách bằng nhau đó chính là hai đường cao tương ứng, nên tỉ số diện tích cũng bằng tỉ số hai đáy này: $\dfrac{S(\triangle ABD)}{S(\triangle ACD)} = \dfrac{AB}{AC}$ .

Bước 3 (cho hai biểu thức bằng nhau). Vì cả hai vế phải đều bằng cùng một tỉ số diện tích, kết hợp Bước 1 và Bước 2 cho ngay $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ , hoàn tất chứng minh.

Định lý: Ba đường trung tuyến đồng quy tại trọng tâm

Trong mọi tam giác $\triangle ABC$ với các trung tuyến $AM$ , $BN$ , $CP$ , cả ba trung tuyến đều đi qua điểm duy nhất $G = \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3},\, \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$ , điểm này chia mỗi trung tuyến theo tỉ số $2:1$ tính từ đỉnh ( $AG = \dfrac{2}{3} AM$ ).

Vì sao đúng?

Ba đường thẳng bất kỳ trên mặt phẳng hầu như không bao giờ đi qua cùng một điểm — chúng thường tạo thành một tam giác nhỏ. Việc công thức của điểm nằm ở vị trí $\dfrac{2}{3}$ trên $AM$ lại hoàn toàn đối xứng theo $A$ , $B$ , $C$ giải thích gọn trong một bước vì sao cả ba trung tuyến buộc phải đi qua đúng cùng một điểm.

Chứng minh

Bước 1 (tọa độ trung điểm). Đặt $\triangle ABC$ vào mặt phẳng tọa độ với các đỉnh $A$ , $B$ , $C$ . Trung điểm $M$ của cạnh $BC$ là trung bình cộng của $B$ và $C$ : $M = \left(\dfrac{x_B+x_C}{2},\, \dfrac{y_B+y_C}{2}\right)$ .

Bước 2 (điểm ở vị trí hai phần ba trên $AM$ ). Đi từ $A$ về phía $M$ một đoạn bằng $\dfrac{2}{3}$ của $AM$ : điểm thu được là $A + \dfrac{2}{3}(M - A) = \dfrac{1}{3}A + \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{B+C}{2} = \dfrac{A+B+C}{3}$ , cho tọa độ $G = \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3},\, \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$ .

Bước 3 (tính đối xứng buộc đồng quy). Chú ý rằng công thức cuối $G = \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3},\, \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$ hoàn toàn đối xứng theo $A$ , $B$ , $C$ — đổi vai trò của $A$ và $B$ (để tìm điểm ở vị trí $\dfrac{2}{3}$ trên trung tuyến $BN$ ) hoặc của $A$ và $C$ (trên $CP$ ) đều cho ra đúng cùng một điểm $G$ . Vậy cả ba trung tuyến đều đi qua $G$ , và $G$ nằm ở vị trí $\dfrac{2}{3}$ tính từ mỗi đỉnh tới trung điểm đối diện ( $AG = \dfrac{2}{3} AM$ ).

Đại họcỨng dụng thực tiễn và Ví dụ minh họa

Các tâm tam giác xuất hiện liên tục trong kỹ thuật và thiết kế: kỹ sư kết cấu và các bộ máy đồ họa máy tính tính khối tâm của mỗi mặt lưới tam giác bằng công thức trọng tâm $G = \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3},\, \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$ (một mô hình 3D phức tạp trong trò chơi hoặc phần mềm CAD được ghép từ hàng nghìn tam giác phẳng mà trọng tâm từng tam giác được lấy trung bình có trọng số theo diện tích để tìm điểm cân bằng của vật thể khi mô phỏng vật lý); kỹ sư trắc địa và kiến trúc sư dùng tâm nội tiếp $I$ để đặt đài phun nước hoặc bùng binh tròn lớn nhất có thể bên trong một khu đất hình tam giác (vì $I$ cách đều cả ba con đường biên), và dùng tâm ngoại tiếp $O$ để đặt trạm phát sóng hoặc đèn hiệu khẩn cấp cách đều ba thị trấn tại $A$ , $B$ , $C$ .

Ví dụ: Cân bằng một tấm kim loại hình tam giác

Một tấm thép phẳng đồng chất hình tam giác có ba góc đặt tại $A(0,6)$ , $B(3,0)$ , $C(9,3)$ (đo bằng đê-xi-mét trên lưới xưởng). Cần hàn một thanh đỡ thẳng đứng duy nhất ở tọa độ $G$ nào bên dưới để tấm thép cân bằng nằm ngang, và khoảng cách từ $G$ tới đỉnh $A$ dọc theo trung tuyến $AM$ là bao nhiêu?

Lời giải

Bước 1: áp dụng công thức trọng tâm. Lấy trung bình cộng tọa độ ba đỉnh từ $A(0,6)$ , $B(3,0)$ , $C(9,3)$ theo $G = \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3},\, \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$ = $((0+3+9)/3,\, (6+0+3)/3)$ , rút gọn được $G(4,3)$ .

Bước 2: tính khoảng cách từ $A$ tới $G$ . Từ $A(0,6)$ tới $G(4,3)$ , độ lệch ngang là $4 - 0 = 4$ và độ lệch dọc là $3 - 6 = -3$ , nên theo định lý Pythagore $AG = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5$ dm.

Bước 3: kiểm tra lại qua trung điểm $M$ . Trung điểm của $BC$ là $M(6, 1.5)$ , cách $A(0,6)$ một đoạn $AM = \sqrt{6^2 + (-4.5)^2} = 7.5$ dm, và quả nhiên $AG = \dfrac{2}{3} AM$ cho $(2/3)\times 7.5 = 5$ dm — hai cách khớp nhau hoàn toàn.

Ví dụ: Chia cạnh đối diện bằng đường phân giác

Một mảnh vườn hình tam giác $\triangle ABC$ có độ dài các cạnh $AB = 6$ , $AC = 9$ , $BC = 10$ (tính bằng mét). Một lối đi thẳng $AD$ được lát dọc theo tia phân giác của góc $A$ tới gặp hàng rào $BC$ tại cổng $D$ . Tìm độ dài chính xác của hai đoạn rào $BD$ và $DC$ .

Lời giải

Bước 1: viết tỉ số từ Định lý đường phân giác. Theo $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ với $AB = 6$ , $AC = 9$ , $BC = 10$ và $DC = 10 - BD$ , ta có $\dfrac{BD}{10 - BD} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ .

Bước 2: giải tỉ lệ thức tìm $BD$ . Nhân chéo cho $3\,BD = 2(10 - BD) = 20 - 2\,BD$ , suy ra $5\,BD = 20$ và $BD = 4$ m.

Bước 3: tìm $DC$ và kiểm tra. Trừ khỏi toàn bộ cạnh $BC = 10$ được $BD = 4$ , $DC = 6$ (mét), và quả nhiên $BD/DC = 4/6 = 2/3 = 6/9 = AB/AC$ .

Ghi chú lịch sử

Quyển IV bộ Cơ bản của Euclid (khoảng năm 300 TCN) đã dựng đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của $\triangle ABC$ bằng đường phân giác và trung trực, còn Mệnh đề 3 Quyển VI chính là Định lý đường phân giác $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ . Archimedes (thế kỷ 3 TCN) chứng minh trong tác phẩm Về sự cân bằng của các mặt phẳng rằng điểm cân bằng của một bản phẳng hình tam giác nằm tại giao điểm $G$ của các đường trung tuyến. Hai mươi thế kỷ sau, Leonhard Euler phát hiện năm 1765 rằng trong mọi tam giác, trực tâm $H$ , trọng tâm $G$ và tâm ngoại tiếp $O$ luôn thẳng hàng trên một đường thẳng duy nhất (nay gọi là đường thẳng Euler), với $HG = 2\,GO$ .

Euclid xứ Alexandria Archimedes xứ Syracuse Leonhard Euler

Ba đường đặc biệt nào của $\triangle ABC$ cắt nhau tại tâm $I$ của đường tròn nội tiếp (cách đều cả ba cạnh)?

Trong $\triangle ABC$ , nếu trung tuyến $AM$ dài $12$ cm thì khoảng cách $AG$ từ đỉnh $A$ tới trọng tâm $G$ bằng bao nhiêu?

Trong $\triangle ABC$ có $AB = 4$ , $AC = 6$ , đường phân giác $AD$ cắt $BC$ tại $D$ , tỉ số $BD/DC$ bằng bao nhiêu?

Cần xây một trạm phát sóng cách đều ba ngôi làng nằm tại ba đỉnh $A$ , $B$ , $C$ của $\triangle ABC$ . Tâm nào của tam giác cho vị trí đúng?

Tài liệu tham khảo

H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer (1967). Geometry Revisited
Euclid (trans. Thomas L. Heath) (1956). Euclid's Elements (Books I–XIII)