Định lý Thales

Trước hết giả sử $DE \parallel BC$. So sánh $S_{\triangle BDE}$ và $S_{\triangle CDE}$: hai tam giác này có chung đáy $DE$, và vì $DE \parallel BC$ nghĩa là $B$, $C$ nằm trên một đường thẳng song song với $DE$, nên khoảng cách vuông góc từ $B$ tới đường thẳng $DE$ bằng khoảng cách vuông góc từ $C$ tới đường thẳng $DE$. Đáy bằng nhau và chiều cao bằng nhau cho ta $S_{\triangle BDE}$ $=$ $S_{\triangle CDE}$.

Bây giờ so sánh $S_{\triangle ADE}$ với $S_{\triangle BDE}$: xét với đỉnh $E$, tam giác $ADE$ có đáy $AD$ nằm trên đường thẳng $AB$ và tam giác $BDE$ có đáy $DB$ nằm trên cùng đường thẳng đó, cùng chung chiều cao từ $E$ xuống đường thẳng $AB$. Hai tam giác có cùng chiều cao thì diện tích tỉ lệ với đáy, nên $S_{\triangle ADE}$$/$$S_{\triangle BDE}$ $=$ $\frac{AD}{DB}$. Lập luận tương tự với đỉnh $D$ và đáy trên đường thẳng $AC$, ta có $S_{\triangle ADE}$$/$$S_{\triangle CDE}$ $=$ $\frac{AE}{EC}$.

Vì $S_{\triangle BDE}$ $=$ $S_{\triangle CDE}$ từ bước đầu, hai tỉ số trên có cùng mẫu số khi viết lại, nên $\frac{AD}{DB}$ $=$ $S_{\triangle ADE}$$/$$S_{\triangle BDE}$ $=$ $S_{\triangle ADE}$$/$$S_{\triangle CDE}$ $=$ $\frac{AE}{EC}$. Điều này chứng minh $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$.

Với mệnh đề đảo, giả sử $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ đúng. Gọi $E'$ là điểm trên $AC$ sao cho $DE' \parallel BC$; chiều thuận vừa chứng minh cho $AD/DB = AE'/E'C$. Kết hợp với giả thiết $AE/EC = AD/DB$ ta được $AE'/E'C = AE/EC$, và vì điểm chia đoạn $AC$ theo một tỉ số cố định là duy nhất, nên $E' = E$. Do đó $DE = DE' \parallel BC$.