Định lý thể tích hình chóp

Bước 1 (trường hợp tam giác bằng cách chia nhỏ). Lấy một lăng trụ tam giác $ABC.A_1B_1C_1$ có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$, vậy thể tích của nó là $V = Bh$ theo định lý thể tích lăng trụ. Cắt nó theo hai mặt phẳng chéo $(A_1BC)$ và $(A_1BC_1)$ thành ba tứ diện: $A_1.ABC$, $A_1.BCC_1$ và $A_1.BB_1C_1$. Một tính toán ngắn cho thấy ba tứ diện này có thể tích bằng nhau: $A_1.BCC_1$ và $A_1.BB_1C_1$ cùng đỉnh $A_1$ trên hai đáy $BCC_1$ và $BB_1C_1$ là hai tam giác bằng nhau (mỗi tam giác là một nửa của cùng hình bình hành $BCC_1B_1$), nên hai tứ diện này có thể tích bằng nhau; và so sánh $A_1.ABC$ với $A_1.BCC_1$ (xem như các hình chóp đỉnh $B$ hoặc theo lập luận đáy bằng nhau dọc lăng trụ) cho thấy cả ba phần bằng nhau. Do đó mỗi tứ diện có thể tích $\frac{1}{3} \cdot V_{\text{prism}} = \frac{1}{3}Bh$. Vì $A_1.ABC$ là một hình chóp tam giác có đáy $ABC$ (diện tích $B$) và đỉnh $A_1$ ở độ cao $h$ phía trên, điều này chứng minh $V = \frac{1}{3}Bh$ cho hình chóp tam giác.

Bước 2 (Cavalieri cho hình dạng đáy bất kì). Bây giờ so sánh một hình chóp tam giác và một hình chóp có đáy bất kì khác, cả hai có cùng diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$, các đỉnh ở cùng độ cao. Tại độ cao $y$ phía trên đáy $(0 \le y \le h)$, một mặt phẳng song song với đáy cắt một hình chóp theo một bản sao của đáy được thu nhỏ theo hệ số $\left(\frac{h-y}{h}\right)$ — đây là một sự kiện đồng dạng chuẩn về phép chiếu xuyên tâm từ đỉnh. Thu nhỏ một hình phẳng theo hệ số tuyến tính $k$ làm diện tích của nó thu nhỏ theo hệ số $k^2$, nên diện tích thiết diện tại độ cao $y$ bằng $B\left(\frac{h-y}{h}\right)^2$ với mọi hình chóp có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$, bất kể hình dạng của đáy.

Vì hai hình chóp được so sánh có diện tích thiết diện giống hệt nhau tại mọi độ cao, nguyên lý Cavalieri cho chúng thể tích bằng nhau. Vì Bước 1 đã thiết lập $V = \frac{1}{3}Bh$ cho hình chóp tam giác, cùng công thức $V = \frac{1}{3}Bh$ đúng cho hình chóp có đáy đa giác bất kì với diện tích $B$ và chiều cao $h$.