Thể tích khối tròn xoay (phương pháp đĩa)

Chia $[a,b]$ thành $n$ đoạn con bề rộng $\Delta x=(b-a)/n$ với các điểm mẫu $x_i^*$. Khối giới hạn trên $[x_{i-1},x_i]$ xấp xỉ một đĩa hình trụ bán kính $f(x_i^*)$ và bề dày $\Delta x$, nên thể tích của nó xấp xỉ $\pi[f(x_i^*)]^2\,\Delta x$.

Cộng các thể tích đĩa này trên tất cả $n$ đoạn con cho tổng Riemann $\sum_{i=1}^n \pi[f(x_i^*)]^2\,\Delta x$, xấp xỉ thể tích thực $V$.

Khi $n\to\infty$, tính liên tục của $f$ trên $[a,b]$ làm sai số xấp xỉ triệt tiêu, và vì $x\mapsto \pi[f(x)]^2$ liên tục, tổng Riemann hội tụ theo định nghĩa về $\pi\int_a^b[f(x)]^2\,dx$. Vậy $V=\pi\int_a^b[f(x)]^2\,dx$.

Để kiểm tra tính nhất quán, lấy $f(x)=\dfrac{r}{h}x$ trên $[0,h]$, khi quay quanh trục $x$ cho đúng một hình nón bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$: $V=\pi\int_0^h \left(\dfrac{r}{h}x\right)^2 dx = \pi\dfrac{r^2}{h^2}\cdot\dfrac{h^3}{3} = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$, đúng bằng công thức thể tích hình nón cổ điển.