Định lý tỉ số thể tích của khối chóp tam giác chung đỉnh

Đặt đỉnh $S$ làm gốc tọa độ và gọi $\vec{u} = \overrightarrow{SA}$, $\vec{v} = \overrightarrow{SB}$, $\vec{w} = \overrightarrow{SC}$. Thể tích của tứ diện tạo bởi ba vectơ cạnh chung một đỉnh được cho bởi tích hỗn hợp $V_{S.ABC} = \frac{1}{6}\left|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\right|$.

Vì $A' \in SA$, $B' \in SB$, $C' \in SC$, ta có thể viết $\overrightarrow{SA'} = k_1\vec{u}$, $\overrightarrow{SB'} = k_2\vec{v}$, $\overrightarrow{SC'} = k_3\vec{w}$ với $k_1 = \frac{SA'}{SA}$, $k_2 = \frac{SB'}{SB}$, $k_3 = \frac{SC'}{SC}$. Khi đó $V_{S.A'B'C'} = \frac{1}{6}\left|(k_1\vec{u})\cdot\big((k_2\vec{v})\times(k_3\vec{w})\big)\right|$.

Tích hỗn hợp là tam tuyến tính (tuyến tính theo từng vectơ trong ba vectơ), nên $(k_1\vec{u})\cdot\big((k_2\vec{v})\times(k_3\vec{w})\big) = k_1 k_2 k_3 \left(\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\right)$. Lấy giá trị tuyệt đối và chia cả hai vế cho 6, ta được $V_{S.A'B'C'} = k_1k_2k_3 \cdot V_{S.ABC}$, sắp xếp lại chính xác thành $\dfrac{V_{S.A'B'C'}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{SA'}{SA}\cdot\dfrac{SB'}{SB}\cdot\dfrac{SC'}{SC}$.