Định lý Fubini cho tích phân lặp

Chia $[a,b]$ thành $m$ đoạn con $[x_{i-1}, x_i]$ bề rộng $\Delta x$ và $[c,d]$ thành $n$ đoạn con $[y_{j-1}, y_j]$ bề rộng $\Delta y$. Với mỗi $x$ cố định, đặt tích phân lát cắt $A(x) = \int_c^d f(x,y)\,dy$. Theo Định lý giá trị trung bình cho tích phân, trên mỗi đoạn $[y_{j-1}, y_j]$ tồn tại $y_{ij}^* \in [y_{j-1}, y_j]$ sao cho $\int_{y_{j-1}}^{y_j} f(x_i, y)\,dy = f(x_i, y_{ij}^*)\,\Delta y$.

Cộng theo $j = 1, \dots, n$ ta được $A(x_i) = \sum_{j=1}^n f(x_i, y_{ij}^*)\,\Delta y$. Nhân với $\Delta x$ rồi cộng theo $i = 1, \dots, m$ dẫn tới $\sum_{i=1}^m A(x_i)\,\Delta x = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_i, y_{ij}^*)\,\Delta x\,\Delta y$. Do $f$ liên tục đều trên hình chữ nhật compact $R$, khi cho $\Delta x, \Delta y \to 0$, vế trái hội tụ về $\int_a^b A(x)\,dx = \int_a^b \left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right) dx$ còn vế phải hội tụ về $\iint_R f(x,y)\,dA$. Lặp lại lập luận với vai trò $x$ và $y$ hoán đổi ta thu được đẳng thức với thứ tự lấy tích phân ngược lại.