Tích phân bội

Tính thể tích bằng cách cộng các khối hộp nhỏ trên lưới cho cùng một kết quả dù bạn cộng từng cột dọc theo $y$ trước để có diện tích lát cắt $A(x)$ rồi tích phân $A(x)$ theo $x$, hay cắt vuông góc với trục $y$ trước.

Chia $[a,b]$ thành $m$ đoạn con $[x_{i-1}, x_i]$ bề rộng $\Delta x$ và $[c,d]$ thành $n$ đoạn con $[y_{j-1}, y_j]$ bề rộng $\Delta y$. Với mỗi $x$ cố định, đặt tích phân lát cắt $A(x) = \int_c^d f(x,y)\,dy$. Theo Định lý giá trị trung bình cho tích phân, trên mỗi đoạn $[y_{j-1}, y_j]$ tồn tại $y_{ij}^* \in [y_{j-1}, y_j]$ sao cho $\int_{y_{j-1}}^{y_j} f(x_i, y)\,dy = f(x_i, y_{ij}^*)\,\Delta y$.

Cộng theo $j = 1, \dots, n$ ta được $A(x_i) = \sum_{j=1}^n f(x_i, y_{ij}^*)\,\Delta y$. Nhân với $\Delta x$ rồi cộng theo $i = 1, \dots, m$ dẫn tới $\sum_{i=1}^m A(x_i)\,\Delta x = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_i, y_{ij}^*)\,\Delta x\,\Delta y$. Do $f$ liên tục đều trên hình chữ nhật compact $R$, khi cho $\Delta x, \Delta y \to 0$, vế trái hội tụ về $\int_a^b A(x)\,dx = \int_a^b \left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right) dx$ còn vế phải hội tụ về $\iint_R f(x,y)\,dA$. Lặp lại lập luận với vai trò $x$ và $y$ hoán đổi ta thu được đẳng thức với thứ tự lấy tích phân ngược lại.

Giống như $dx = g'(u)\,du$ co giãn độ dài trong phép đổi biến một biến, $|\det D\Phi(u,v)|$ đo tỉ số co giãn diện tích địa phương khi một hình chữ nhật nhỏ trong mặt phẳng $(u,v)$ được ánh xạ thành một hình bình hành trong mặt phẳng $(x,y)$.

Xét hình chữ nhật nhỏ $R_{ij} = [u_i, u_i + \Delta u] \times [v_j, v_j + \Delta v]$ trong $U$. Nhờ khai triển Taylor bậc nhất quanh $(u_i, v_j)$, hai cạnh $( \Delta u, 0 )$ và $( 0, \Delta v )$ được ánh xạ xấp xỉ thành hai vectơ tiếp tuyến $\mathbf{a} = \Phi_u(u_i,v_j)\,\Delta u = (x_u, y_u)\,\Delta u$ và $\mathbf{b} = \Phi_v(u_i,v_j)\,\Delta v = (x_v, y_v)\,\Delta v$. Diện tích hình bình hành căng bởi $\mathbf{a}$ và $\mathbf{b}$ trong $\mathbb{R}^2$ bằng $|x_u y_v - x_v y_u|\,\Delta u\,\Delta v = |\det D\Phi(u_i, v_j)|\,\Delta u\,\Delta v$ sai khác một đại lượng bậc cao $o(\Delta u\,\Delta v)$.

Thay $\Delta A_{ij} \approx |\det D\Phi(u_i, v_j)|\,\Delta u\,\Delta v$ vào tổng Riemann $\sum_{i,j} f(\Phi(u_i, v_j))\,\Delta A_{ij}$ ta được $\sum_{i,j} f(\Phi(u_i, v_j))\,|\det D\Phi(u_i, v_j)|\,\Delta u\,\Delta v$. Đặc biệt, với tọa độ cực $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, ta có $\det D\Phi = (\cos\theta)(r\cos\theta) - (-r\sin\theta)(\sin\theta) = r(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r$, suy ra $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$.