Định lý đổi biến và định thức Jacobi

Xét hình chữ nhật nhỏ $R_{ij} = [u_i, u_i + \Delta u] \times [v_j, v_j + \Delta v]$ trong $U$. Nhờ khai triển Taylor bậc nhất quanh $(u_i, v_j)$, hai cạnh $( \Delta u, 0 )$ và $( 0, \Delta v )$ được ánh xạ xấp xỉ thành hai vectơ tiếp tuyến $\mathbf{a} = \Phi_u(u_i,v_j)\,\Delta u = (x_u, y_u)\,\Delta u$ và $\mathbf{b} = \Phi_v(u_i,v_j)\,\Delta v = (x_v, y_v)\,\Delta v$. Diện tích hình bình hành căng bởi $\mathbf{a}$ và $\mathbf{b}$ trong $\mathbb{R}^2$ bằng $|x_u y_v - x_v y_u|\,\Delta u\,\Delta v = |\det D\Phi(u_i, v_j)|\,\Delta u\,\Delta v$ sai khác một đại lượng bậc cao $o(\Delta u\,\Delta v)$.

Thay $\Delta A_{ij} \approx |\det D\Phi(u_i, v_j)|\,\Delta u\,\Delta v$ vào tổng Riemann $\sum_{i,j} f(\Phi(u_i, v_j))\,\Delta A_{ij}$ ta được $\sum_{i,j} f(\Phi(u_i, v_j))\,|\det D\Phi(u_i, v_j)|\,\Delta u\,\Delta v$. Đặc biệt, với tọa độ cực $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, ta có $\det D\Phi = (\cos\theta)(r\cos\theta) - (-r\sin\theta)(\sin\theta) = r(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r$, suy ra $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$.