Tính nhân của định thức

Trước hết, nhắc lại ảnh hưởng của ba phép biến đổi dòng cơ bản lên định thức (được thiết lập trực tiếp từ tổng Leibniz $\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}$, vì mỗi số hạng của tổng đó là tuyến tính theo từng dòng riêng biệt): đổi chỗ hai dòng nhân $\det$ với $-1$, nhân một dòng với $k$ nhân $\det$ với $k$, và cộng một bội của một dòng vào dòng khác thì $\det$ không đổi.

Mỗi phép biến đổi dòng cơ bản trên $A$ giống như nhân $A$ ở bên trái với một ma trận cơ bản $E$ tương ứng (thu được bằng cách áp dụng đúng phép biến đổi đó lên ma trận đơn vị $I$). So sánh với đoạn trên, $\det(E)$ chính bằng hệ số co giãn của phép biến đổi đó ($-1$, $k$, hoặc $1$ tương ứng), nên với mọi ma trận cơ bản $E$, $\det(EA)=\det(E)\det(A)$.

Trường hợp $A$ khả nghịch: phép khử Gauss đưa mọi ma trận khả nghịch về ma trận đơn vị bằng một dãy hữu hạn các phép biến đổi dòng cơ bản, nghĩa là $E_m\cdots E_1A=I$ với các ma trận cơ bản $E_1,\dots,E_m$, nên $A=E_1^{-1}\cdots E_m^{-1}$, tức chính nó là tích các ma trận cơ bản (nghịch đảo của một ma trận cơ bản cũng là ma trận cơ bản cùng loại). Áp dụng liên tiếp đẳng thức ở đoạn trước, $\det(A)=\det(E_1^{-1})\cdots\det(E_m^{-1})$, và áp dụng lại cho $AB=E_1^{-1}\cdots E_m^{-1}B$ ta được $\det(AB)=\det(E_1^{-1})\cdots\det(E_m^{-1})\det(B)=\det(A)\det(B)$.

Trường hợp $A$ suy biến: khi đó $\det(A)=0$ (một ma trận suy biến không thể đưa hoàn toàn về ma trận đơn vị, và các quy tắc biến đổi dòng trên cho thấy mọi dạng bậc thang đạt được vẫn còn một dòng bằng không, buộc $\det=0$ theo khai triển phần bù đại số theo dòng đó). Suy biến cũng có nghĩa $\operatorname{rank}(A)<n$, và vì $\operatorname{rank}(AB)\leq\operatorname{rank}(A)<n$ với mọi $B$, tích $AB$ cũng suy biến, nên $\det(AB)=0$. Do đó $\det(AB)=0=0\cdot\det(B)=\det(A)\det(B)$, và đẳng thức vẫn đúng trong trường hợp này, hoàn tất chứng minh cho mọi $A$.