Định lýĐã chứng minh

Tính vuông góc và diện tích của tích có hướng

Phát biểu

Với mọi $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$ và $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$ , tích có hướng $\vec{u}\times\vec{v}=(u_2v_3-u_3v_2,\,u_3v_1-u_1v_3,\,u_1v_2-u_2v_1)$ thỏa $(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u}=0$ , $(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v}=0$ , và $|\vec{u}\times\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2-(\vec{u}\cdot\vec{v})^2$ .

Vì sao đúng?

Hai đẳng thức đầu xác nhận $\vec{u}\times\vec{v}$ vuông góc với cả hai vectơ đầu vào, nên nó cho ngay một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng bất kỳ căng bởi $\vec{u}$ và $\vec{v}$ . Đẳng thức thứ ba viết lại thành $|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta$ , chính là diện tích đáy-nhân-cao của hình bình hành dựng trên $\vec{u}$ và $\vec{v}$ .

Phác thảo chứng minh

Tính trực tiếp tích vô hướng từ định nghĩa tọa độ: (u x v) . u = (u2 v3 - u3 v2) u1 + (u3 v1 - u1 v3) u2 + (u1 v2 - u2 v1) u3.

Khai triển ba tích cho u1 u2 v3 - u1 u3 v2 + u2 u3 v1 - u1 u2 v3 + u1 u3 v2 - u2 u3 v1 = 0, vì sáu số hạng triệt tiêu từng cặp. Phép tính cho (u x v) . v = 0 hoàn toàn tương tự.

Với đẳng thức độ dài, khai triển |u x v|^2 = (u2 v3 - u3 v2)^2 + (u3 v1 - u1 v3)^2 + (u1 v2 - u2 v1)^2. Mặt khác, khai triển |u|^2 |v|^2 - (u . v)^2 = (u1^2+u2^2+u3^2)(v1^2+v2^2+v3^2) - (u1 v1 + u2 v2 + u3 v3)^2.

Ở biểu thức thứ hai, các số hạng chéo u1^2 v1^2, u2^2 v2^2, u3^2 v3^2 triệt tiêu, còn lại đúng sáu số hạng ngoài đường chéo u_i^2 v_j^2 - 2 u_i u_j v_i v_j giống hệt như trong khai triển của |u x v|^2. Vì u . v = |u||v|cos(theta), biểu thức này bằng |u|^2|v|^2(1 - cos^2(theta)) = (|u||v|sin(theta))^2.

Chủ đề chứa định lý này

Tọa độ trong không gian

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.