MathLabs

Lớp 12

Tọa độ trong không gian

Mở rộng phương pháp tọa độ sang không gian ba chiều với hệ trục Oxyz.

Trực giácThêm trục thứ ba: từ mặt phẳng lên hệ OxyzOxyz

Trong một căn phòng, bạn có thể xác định vị trí bất kỳ điểm nào — chẳng hạn đầu bóng đèn trần — bằng ba con số: đi dọc theo bức tường thứ nhất bao xa (xx), đi dọc theo bức tường kế bên bao xa (yy), và cao hơn sàn nhà bao nhiêu (zz). Đặt ba trục đôi một vuông góc Ox,Oy,OzOx, Oy, Oz chung gốc tại góc phòng OO ta được hệ trục tọa độ OxyzOxyz, biến mọi điểm M(x,y,z)M(x,y,z), mọi hướng và mọi mặt phẳng hay mặt cong trong không gian thành số và phương trình.

Đồ thị mặt 3D tương tác trong hệ tọa độ $Oxyz$.
Một mặt z=f(x,y)z=f(x,y) được vẽ trong hệ trục tọa độ OxyzOxyz. Đổi hàm và tỉ lệ theo phương đứng để thấy một phương trình giữa x,y,zx,y,z tạo nên hình dạng trong không gian như thế nào.

Phổ thôngVectơ, mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu theo tọa độ

Định nghĩa: Tích vô hướng và tích có hướng (u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v})

Với hai vectơ trong không gian u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u}=(u_1,u_2,u_3) và v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v}=(v_1,v_2,v_3), tích vô hướng là số u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2+u3v3\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3 (bằng 00 khi và chỉ khi u⃗⊥v⃗\vec{u}\perp\vec{v}), còn tích có hướng u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v} là một vectơ mới vuông góc với cả u⃗\vec{u} lẫn v⃗\vec{v}:

u⃗×v⃗=(u2v3−u3v2, u3v1−u1v3, u1v2−u2v1)\vec{u}\times\vec{v}=(u_2v_3-u_3v_2,\,u_3v_1-u_1v_3,\,u_1v_2-u_2v_1)

Độ dài ∣u⃗×v⃗∣|\vec{u}\times\vec{v}| bằng diện tích hình bình hành dựng trên u⃗\vec{u} và v⃗\vec{v}, và u⃗×v⃗=0⃗\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0} khi hai vectơ cùng phương. Điều này biến u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v} thành công cụ chuẩn để dựng vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng từ hai phương nằm trong mặt phẳng đó.

Định nghĩa: Mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong không gian

Một mặt phẳng (P)(P) có vectơ pháp tuyến khác không n⃗=(A,B,C)\vec{n}=(A,B,C) có phương trình tổng quát Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0. Đường thẳng đi qua M0(x0,y0,z0)M_0(x_0,y_0,z_0) có vectơ chỉ phương u⃗=(a,b,c)\vec{u}=(a,b,c) được viết ở dạng tham số x=x0+at,  y=y0+bt,  z=z0+ctx=x_0+at,\;y=y_0+bt,\;z=z_0+ct (t∈Rt\in\mathbb{R}) hoặc dạng chính tắc x−x0a=y−y0b=z−z0c\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c} (khi a,b,c≠0a,b,c\neq 0). Mặt cầu tâm I(x0,y0,z0)I(x_0,y_0,z_0) bán kính R>0R>0 có phương trình (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2.

Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0

Khoảng cách trong OxyzOxyz suy trực tiếp từ định lý Pythagoras và phép chiếu vuông góc: khoảng cách giữa hai điểm A,BA,B là AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}, còn khoảng cách vuông góc từ điểm M0(x0,y0,z0)M_0(x_0,y_0,z_0) đến mặt phẳng Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0 được cho bởi:

d(M0,(P))=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2d(M_0,(P))=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
Tóm tắt các đối tượng và phương trình trong OxyzOxyz
Đối tượngVectơ / dữ kiện xác địnhPhương trình / công thức
Mặt phẳngVectơ pháp tuyến n⃗=(A,B,C)\vec{n}=(A,B,C)Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0
Đường thẳngĐiểm M0M_0, vectơ chỉ phương u⃗=(a,b,c)\vec{u}=(a,b,c)x=x0+at,  y=y0+bt,  z=z0+ctx=x_0+at,\;y=y_0+bt,\;z=z_0+ct
Mặt cầuTâm I(x0,y0,z0)I(x_0,y_0,z_0), bán kính RR(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳngM0(x0,y0,z0)M_0(x_0,y_0,z_0) và n⃗=(A,B,C)\vec{n}=(A,B,C)d(M0,(P))=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2d(M_0,(P))=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

Đại họcĐịnh lý: tích có hướng và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Định lý: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong OxyzOxyz, khoảng cách vuông góc từ M0(x0,y0,z0)M_0(x_0,y_0,z_0) đến mặt phẳng (P):Ax+By+Cz+D=0(P): Ax+By+Cz+D=0 (với A2+B2+C2>0A^2+B^2+C^2>0) là d(M0,(P))=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2d(M_0,(P))=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.

Vì sao đúng?

Giá trị Ax0+By0+Cz0+DAx_0+By_0+Cz_0+D đo mức độ điểm M0M_0 lệch khỏi phương trình mặt phẳng, bị nhân tỉ lệ theo độ dài ∣n⃗∣=A2+B2+C2|\vec{n}|=\sqrt{A^2+B^2+C^2} của vectơ pháp tuyến n⃗=(A,B,C)\vec{n}=(A,B,C). Chia cho ∣n⃗∣|\vec{n}| sẽ đổi phần dư đại số đó thành khoảng cách hình học thực sự dọc theo phương pháp tuyến.

Chứng minh

Chọn một điểm bất kỳ M1(x1,y1,z1) trên mặt phẳng (P). Vì M1 nằm trên (P) nên tọa độ của nó thỏa Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0, suy ra D = -(Ax1 + By1 + Cz1).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M0 lên (P). Vectơ M1M0 = (x0-x1, y0-y1, z0-z1) phân tích thành một thành phần nằm trong mặt phẳng cộng với thành phần pháp tuyến HM0, nên khoảng cách d(M0,(P)) = |HM0| bằng giá trị tuyệt đối của hình chiếu đại số của M1M0 lên vectơ pháp tuyến n = (A,B,C).

Hình chiếu đó có độ lớn |n . M1M0| / |n| = |A(x0-x1) + B(y0-y1) + C(z0-z1)| / sqrt(A^2+B^2+C^2).

Thay -(Ax1 + By1 + Cz1) bằng D bên trong dấu giá trị tuyệt đối ta được |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2+B^2+C^2), hoàn tất chứng minh.

Định lý: Tính vuông góc và diện tích của tích có hướng

Với mọi u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u}=(u_1,u_2,u_3) và v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v}=(v_1,v_2,v_3), tích có hướng u⃗×v⃗=(u2v3−u3v2, u3v1−u1v3, u1v2−u2v1)\vec{u}\times\vec{v}=(u_2v_3-u_3v_2,\,u_3v_1-u_1v_3,\,u_1v_2-u_2v_1) thỏa (u⃗×v⃗)⋅u⃗=0(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u}=0, (u⃗×v⃗)⋅v⃗=0(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v}=0, và ∣u⃗×v⃗∣2=∣u⃗∣2∣v⃗∣2−(u⃗⋅v⃗)2|\vec{u}\times\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2-(\vec{u}\cdot\vec{v})^2.

Vì sao đúng?

Hai đẳng thức đầu xác nhận u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v} vuông góc với cả hai vectơ đầu vào, nên nó cho ngay một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng bất kỳ căng bởi u⃗\vec{u} và v⃗\vec{v}. Đẳng thức thứ ba viết lại thành ∣u⃗×v⃗∣=∣u⃗∣∣v⃗∣sin⁡θ|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta, chính là diện tích đáy-nhân-cao của hình bình hành dựng trên u⃗\vec{u} và v⃗\vec{v}.

Chứng minh

Tính trực tiếp tích vô hướng từ định nghĩa tọa độ: (u x v) . u = (u2 v3 - u3 v2) u1 + (u3 v1 - u1 v3) u2 + (u1 v2 - u2 v1) u3.

Khai triển ba tích cho u1 u2 v3 - u1 u3 v2 + u2 u3 v1 - u1 u2 v3 + u1 u3 v2 - u2 u3 v1 = 0, vì sáu số hạng triệt tiêu từng cặp. Phép tính cho (u x v) . v = 0 hoàn toàn tương tự.

Với đẳng thức độ dài, khai triển |u x v|^2 = (u2 v3 - u3 v2)^2 + (u3 v1 - u1 v3)^2 + (u1 v2 - u2 v1)^2. Mặt khác, khai triển |u|^2 |v|^2 - (u . v)^2 = (u1^2+u2^2+u3^2)(v1^2+v2^2+v3^2) - (u1 v1 + u2 v2 + u3 v3)^2.

Ở biểu thức thứ hai, các số hạng chéo u1^2 v1^2, u2^2 v2^2, u3^2 v3^2 triệt tiêu, còn lại đúng sáu số hạng ngoài đường chéo u_i^2 v_j^2 - 2 u_i u_j v_i v_j giống hệt như trong khai triển của |u x v|^2. Vì u . v = |u||v|cos(theta), biểu thức này bằng |u|^2|v|^2(1 - cos^2(theta)) = (|u||v|sin(theta))^2.

Đại họcỨng dụng thực tiễn và Ví dụ minh họa

Mọi bộ dựng hình 3D, phần mềm CAD, bộ điều khiển tay máy robot và máy thu định vị vệ tinh đều làm việc bên trong một hệ tọa độ OxyzOxyz. Một lưới tam giác trên màn hình được tính sáng bằng cách lấy tích có hướng u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v} của hai vectơ cạnh của mỗi tam giác để tìm pháp tuyến n⃗=(A,B,C)\vec{n}=(A,B,C), rồi lấy tích vô hướng với hướng nguồn sáng. Phát hiện va chạm và kiểm tra khoảng trống an toàn của drone quy về việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng d(M0,(P))=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2d(M_0,(P))=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} và phương trình mặt cầu (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2; định vị vệ tinh (GPS) tìm giao của các mặt cầu có tâm tại các vệ tinh đã biết tọa độ OxyzOxyz.

Ví dụ: Phương trình mặt phẳng qua ba điểm bằng tích có hướng

Viết phương trình mặt phẳng (P)(P) đi qua ba điểm A(1,0,0)A(1,0,0), B(0,2,0)B(0,2,0) và C(0,0,2)C(0,0,2).

Lời giải

Lập hai vectơ nằm trong mặt phẳng: AB = (-1, 2, 0) và AC = (-1, 0, 2).

Tích có hướng của chúng cho một vectơ pháp tuyến của (P): AB x AC = (22 - 00, 0(-1) - (-1)2, (-1)0 - 2(-1)) = (4, 2, 2). Ta có thể chia cho 2 và dùng vectơ pháp tuyến gọn hơn n = (2, 1, 1).

Viết 2(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0 đi qua điểm A(1,0,0) cho phương trình mặt phẳng 2x + y + z - 2 = 0.

Ví dụ: Khoảng cách an toàn từ một drone đến mặt phẳng mái nghiêng

Trong một hệ trục OxyzOxyz tại chỗ (đơn vị mét), một mái nhà nghiêng nằm trong mặt phẳng (P):2x−2y+z−5=0(P): 2x-2y+z-5=0, và một chiếc drone đang bay lơ lửng tại M0(3,1,4)M_0(3,1,4). Tính khoảng cách vuông góc từ drone đến mái nhà, và viết phương trình mặt cầu lớn nhất tâm M0M_0 không cắt qua mái nhà.

Lời giải

Dùng d(M0,(P))=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2d(M_0,(P))=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} với (A,B,C)=(2,−2,1)(A,B,C)=(2,-2,1) và M0(3,1,4)M_0(3,1,4), tử số là ∣2(3)−2(1)+1(4)−5∣=∣6−2+4−5∣=3|2(3)-2(1)+1(4)-5|=|6-2+4-5|=3.

Mẫu số là 22+(−2)2+12=9=3\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{9}=3, nên khoảng cách an toàn là d(M0,(P))=3/3=1d(M_0,(P))=3/3=1 mét.

Mặt cầu lớn nhất quanh M0M_0 không chạm qua mái nhà thì tiếp xúc với (P)(P), nên bán kính của nó là R=d(M0,(P))=1R=d(M_0,(P))=1. Theo (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2, phương trình của nó là (x−3)2+(y−1)2+(z−4)2=1(x-3)^2+(y-1)^2+(z-4)^2=1.

Trong hệ OxyzOxyz, tích có hướng u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v} của u⃗=(1,2,0)\vec{u}=(1,2,0) và v⃗=(0,1,3)\vec{v}=(0,1,3) là vectơ nào?

Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 3x−y+4z−7=03x-y+4z-7=0?

Tâm II và bán kính RR của mặt cầu (x−1)2+(y+2)2+z2=9(x-1)^2+(y+2)^2+z^2=9 là gì?

Một bộ dựng hình 3D cần một vectơ pháp tuyến để tô bóng một mặt tam giác có các đỉnh A,B,CA,B,C. Phép toán nào trên hai vectơ cạnh u⃗=AB→\vec{u}=\overrightarrow{AB} và v⃗=AC→\vec{v}=\overrightarrow{AC} cho một vectơ vuông góc với tam giác đó?