Định lýĐã chứng minh

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Phát biểu

Trong $Oxyz$ , khoảng cách vuông góc từ $M_0(x_0,y_0,z_0)$ đến mặt phẳng $(P): Ax+By+Cz+D=0$ (với $A^2+B^2+C^2>0$ ) là $d(M_0,(P))=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ .

Vì sao đúng?

Giá trị $Ax_0+By_0+Cz_0+D$ đo mức độ điểm $M_0$ lệch khỏi phương trình mặt phẳng, bị nhân tỉ lệ theo độ dài $|\vec{n}|=\sqrt{A^2+B^2+C^2}$ của vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(A,B,C)$ . Chia cho $|\vec{n}|$ sẽ đổi phần dư đại số đó thành khoảng cách hình học thực sự dọc theo phương pháp tuyến.

Phác thảo chứng minh

Chọn một điểm bất kỳ M1(x1,y1,z1) trên mặt phẳng (P). Vì M1 nằm trên (P) nên tọa độ của nó thỏa Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0, suy ra D = -(Ax1 + By1 + Cz1).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M0 lên (P). Vectơ M1M0 = (x0-x1, y0-y1, z0-z1) phân tích thành một thành phần nằm trong mặt phẳng cộng với thành phần pháp tuyến HM0, nên khoảng cách d(M0,(P)) = |HM0| bằng giá trị tuyệt đối của hình chiếu đại số của M1M0 lên vectơ pháp tuyến n = (A,B,C).

Hình chiếu đó có độ lớn |n . M1M0| / |n| = |A(x0-x1) + B(y0-y1) + C(z0-z1)| / sqrt(A^2+B^2+C^2).

Thay -(Ax1 + By1 + Cz1) bằng D bên trong dấu giá trị tuyệt đối ta được |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2+B^2+C^2), hoàn tất chứng minh.

Chủ đề chứa định lý này

Tọa độ trong không gian

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.