Định lý phổ cho ma trận đối xứng thực

Trước hết ta ghi nhận một bổ đề: mọi trị riêng của ma trận đối xứng thực đều là số thực. Nếu $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$ với $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ có thể phức, xét $\mathbf{v}^{*}A\mathbf{v}$ với $\mathbf{v}^{*}$ là chuyển vị liên hợp. Vì $A$ thực và đối xứng, $\mathbf{v}^{*}A\mathbf{v} = (\mathbf{v}^{*}A\mathbf{v})^{*}$, nên đại lượng này là số thực; nhưng nó cũng bằng $\lambda \, \mathbf{v}^{*}\mathbf{v}$, và $\mathbf{v}^{*}\mathbf{v} > 0$ là số thực dương, buộc $\lambda$ phải là số thực.

Ta chứng minh định lý bằng quy nạp theo $n$. Trường hợp $n = 1$ hiển nhiên: mọi ma trận $1 \times 1$ đã là ma trận đường chéo, với $Q = (1)$.

Ở bước quy nạp, giả sử định lý đúng với mọi ma trận đối xứng thực cỡ $n - 1$. Vì $A$ là ma trận đối xứng thực $n \times n$, theo bổ đề đa thức đặc trưng của nó có nghiệm thực $\lambda_1$; chọn một vectơ riêng tương ứng và chuẩn hóa thành vectơ đơn vị $\mathbf{v}_1$.

Gọi $W$ là phần bù trực giao của đường thẳng sinh bởi $\mathbf{v}_1$, một không gian con $(n-1)$ chiều. Ta khẳng định $W$ bất biến dưới $A$: với mọi $\mathbf{w} \in W$ (tức $\mathbf{w}^\top \mathbf{v}_1 = 0$), ta tính $(A\mathbf{w})^\top \mathbf{v}_1 = \mathbf{w}^\top A^\top \mathbf{v}_1 = \mathbf{w}^\top A \mathbf{v}_1 = \lambda_1 \mathbf{w}^\top \mathbf{v}_1 = 0$, dùng tính đối xứng của $A$ ở bước giữa. Vậy $A\mathbf{w}$ lại vuông góc với $\mathbf{v}_1$, tức $A\mathbf{w} \in W$.

Chọn một cơ sở trực chuẩn của $W$; trong cơ sở này, hạn chế của $A$ lên $W$ được biểu diễn bởi ma trận $(n-1) \times (n-1)$ ký hiệu $A'$, và $A'$ đối xứng vì $A$ đối xứng (hạn chế một dạng song tuyến tính đối xứng lên không gian con, trong cơ sở trực chuẩn, vẫn giữ tính đối xứng). Theo giả thiết quy nạp, $A'$ có cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng $\mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$ nằm trong $W$, với các trị riêng thực $\lambda_2, \dots, \lambda_n$; vì $W$ bất biến dưới $A$, đây cũng chính là các vectơ riêng thực sự của $A$.

Gộp $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$ lại cho một cơ sở trực chuẩn của $\mathbb{R}^n$ gồm toàn vectơ riêng của $A$. Xếp chúng làm các cột của ma trận $Q$ khiến $Q$ trực giao, và $AQ = Q\Lambda$ với $\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$; vì $Q^{-1} = Q^\top$ đối với ma trận trực giao, điều này sắp xếp lại đúng thành $A = Q \Lambda Q^\top$, hoàn tất phép quy nạp.