Tổng các góc trong của tứ giác và đa giác n cạnh

Bước 1 (chia tứ giác theo một đường chéo). Trong tứ giác lồi $ABCD$, kẻ đường chéo $AC$. Vì hình lồi nên đoạn thẳng này nằm hoàn toàn bên trong tứ giác và chia nó thành hai tam giác $\triangle ABC$ và $\triangle ACD$.

Bước 2 (áp dụng tổng ba góc tam giác cho từng phần). Trong $\triangle ABC$ ta có $\angle BAC + \angle B + \angle BCA = 180^\circ$, và trong $\triangle ACD$ ta có $\angle CAD + \angle D + \angle DCA = 180^\circ$.

Bước 3 (cộng hai đẳng thức và tổng quát hóa). Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên cho $(\angle BAC + \angle CAD) + \angle B + (\angle BCA + \angle DCA) + \angle D = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$. Vì các góc kề nhau ở hai đầu đường chéo ghép lại thành góc đầy đủ ở đỉnh $\angle BAC + \angle CAD = \angle A$ và $\angle BCA + \angle DCA = \angle C$, biểu thức rút gọn trực tiếp thành $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$. Đối với đa giác lồi có $n$ đỉnh, kẻ tất cả $n - 3$ đường chéo từ một đỉnh chia miền trong thành $n - 2$ tam giác có tổng các góc bằng $(n - 2) \cdot 180^\circ$.