四角形とn角形の内角の和の定理

ステップ1（対角線に沿って四角形を分割する）。凸四角形 $ABCD$ において対角線 $AC$ を引く。図形が凸であるため、この線分は完全に四角形の内部に収まり、四角形を二つの三角形 $\triangle ABC$ と $\triangle ACD$ に分割する。

ステップ2（各部分に三角形の内角の和を適用する）。$\triangle ABC$ において $\angle BAC + \angle B + \angle BCA = 180^\circ$ が成り立ち、$\triangle ACD$ において $\angle CAD + \angle D + \angle DCA = 180^\circ$ が成り立つ。

ステップ3（二つの等式を足し合わせて一般化する）。両方の等式を辺々足し合わせると $(\angle BAC + \angle CAD) + \angle B + (\angle BCA + \angle DCA) + \angle D = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$ となる。対角線の両端で隣り合う角はそれぞれ頂点の全体の角 $\angle BAC + \angle CAD = \angle A$ と $\angle BCA + \angle DCA = \angle C$ に合体するので、これは直ちに $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$ へと簡約される。$n$ 個の頂点をもつ凸多角形では、一つの頂点から $n - 3$ 本すべての対角線を引くと内部が $n - 2$ 個の三角形に分割され、その内角の総和は $(n - 2) \cdot 180^\circ$ となる。