Khoảng tin cậy cho trung bình, qua định lý giới hạn trung tâm

Theo định lý giới hạn trung tâm, $\frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt n}$ hội tụ theo phân phối về $N(0,1)$ khi $n$$\to\infty$. Vậy với $n$ lớn, $-z_{\alpha/2} \le \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt n} \le z_{\alpha/2}$ đúng với xác suất xấp xỉ $1-\alpha$, trong đó $z_{\alpha/2}$ là giá trị để lại xác suất $\alpha/2$ ở mỗi đuôi của $N(0,1)$.

Nhân cả ba vế của bất đẳng thức với $\frac{\sigma}{\sqrt n}$$>0$ (giữ nguyên chiều bất đẳng thức): $-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} \le \bar X - \mu \le z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}$.

Trừ $\bar X$ ở mọi vế, rồi nhân với $-1$ (đảo chiều bất đẳng thức): $\bar X - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} \le \mu \le \bar X + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}$. Đây chính xác là công thức khoảng tin cậy: vì phát biểu xác suất ban đầu đúng với xác suất xấp xỉ $1-\alpha$, nên khoảng đã sắp xếp lại này cũng chứa $\mu$ với xác suất đó.