Ước lượng

Việc lấy trung bình loại bỏ sai số hệ thống: tính trung bình qua nhiều mẫu giả định, $\bar X$ rơi đúng vào trung bình tổng thể thực $\mu$, không lệch cao hay lệch thấp một cách có hệ thống.

Theo định nghĩa, $\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$. Kỳ vọng là một toán tử tuyến tính nên phân phối được qua tổng và hệ số hằng $\frac{1}{n}$: $E[\bar X] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} E[X_i]$.

Vì mỗi $X_i$ đều đến từ cùng một tổng thể, nên $E[X_i] = \mu$ với mỗi trong số $n$ số hạng, nên tổng rút gọn thành $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \mu = \frac{1}{n}(n\mu) = \mu$.

Do đó $E[\bar X] = \mu$ với mọi cỡ mẫu $n$: trung bình mẫu không chệch dù mẫu nhỏ hay lớn. Đây chỉ là phát biểu về tâm của phân phối mẫu -- độ phân tán của phân phối đó, $\operatorname{Var}(\bar X) = \sigma^2/n$, vẫn thu hẹp dần khi $n$ tăng, và đó chính là điều khoảng tin cậy bên dưới sử dụng.

Định lý giới hạn trung tâm nói rằng trung bình mẫu đã chuẩn hóa xử sự như một biến chuẩn tắc khi $n$ lớn, nên ta có thể dùng các phân vị chuẩn $z_{\alpha/2}$ để kẹp $\mu$ với một tỉ lệ thành công đã biết về lâu dài, bất kể hình dạng của tổng thể gốc.

Theo định lý giới hạn trung tâm, $\frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt n}$ hội tụ theo phân phối về $N(0,1)$ khi $n$$\to\infty$. Vậy với $n$ lớn, $-z_{\alpha/2} \le \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt n} \le z_{\alpha/2}$ đúng với xác suất xấp xỉ $1-\alpha$, trong đó $z_{\alpha/2}$ là giá trị để lại xác suất $\alpha/2$ ở mỗi đuôi của $N(0,1)$.

Nhân cả ba vế của bất đẳng thức với $\frac{\sigma}{\sqrt n}$$>0$ (giữ nguyên chiều bất đẳng thức): $-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} \le \bar X - \mu \le z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}$.

Trừ $\bar X$ ở mọi vế, rồi nhân với $-1$ (đảo chiều bất đẳng thức): $\bar X - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} \le \mu \le \bar X + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}$. Đây chính xác là công thức khoảng tin cậy: vì phát biểu xác suất ban đầu đúng với xác suất xấp xỉ $1-\alpha$, nên khoảng đã sắp xếp lại này cũng chứa $\mu$ với xác suất đó.