Mọi miền nguyên hữu hạn đều là trường

Lấy $a \in D$ là phần tử khác không bất kỳ, và xét ánh xạ nhân trái $L_a : D \to D$ định nghĩa bởi $L_a(x) = ax$.

Trước hết ta chỉ ra $L_a$ đơn ánh. Giả sử $L_a(x) = L_a(y)$, tức $ax = ay$, hay $a(x - y) = 0$. Vì $D$ là miền nguyên và $a \neq 0$, không có ước của không, điều này buộc $x - y = 0$ và do đó $x = y$.

Vì $D$ là tập hữu hạn, mọi đơn ánh $D \to D$ tự động là toàn ánh (theo nguyên lý chuồng bồ câu: $|L_a(D)| = |D|$). Đặc biệt, đơn vị nhân $1 \in D$ phải nằm trong ảnh của $L_a$, nên tồn tại $b \in D$ sao cho $L_a(b) = ab = 1$. Vậy $b = a^{-1}$, và vì $a \neq 0$ tùy ý nên $D$ là một trường.