有限整环必为域

任取非零元 $a \in D$,考虑由 $L_a(x) = ax$ 定义的左乘映射 $L_a : D \to D$。

首先证明 $L_a$ 是单射。设 $L_a(x) = L_a(y)$,则 $ax = ay$,即 $a(x - y) = 0$。因为 $D$ 是整环且 $a \neq 0$,不存在零因子,故必有 $x - y = 0$,即 $x = y$。

由于 $D$ 是有限集,任何单射 $D \to D$ 自动是满射(由抽屉原理:$|L_a(D)| = |D|$)。特别地,乘法单位元 $1 \in D$ 必在 $L_a$ 的像中,因此存在 $b \in D$ 使得 $L_a(b) = ab = 1$。于是 $b = a^{-1}$,而 $a \neq 0$ 是任意选取的,故 $D$ 是域。