$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ が体となるための条件

（$\Leftarrow$）$p$ を素数とし、$\bar{a} \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を $1 \le a \le p - 1$ なる整数 $a$ で代表される任意の非零剰余類とする。$p$ は素数であり $p \nmid a$ であるから、$a$ と $p$ の最大公約数は $\gcd(a,p) = 1$ である。

ベズーの等式により、$au + pv = 1$ を満たす整数 $u, v \in \mathbb{Z}$ が存在する。両辺を法 $p$ で還元すると倍数 $pv$ は消え、$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ において $\bar{a}\,\bar{u} = \bar{1}$ が残る。よって $\bar{u} = \bar{a}^{-1}$ が $\bar{a}$ の乗法逆元となり、すべての非零元が可逆であるから $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ は体である。

（$\Rightarrow$）逆に $p$ が合成数であるとすると、整数 $1 < b, c < p$ によって $p = bc$ と書ける。$b$ と $c$ は真に $0$ と $p$ の間にあるので、それらの剰余類 $\bar{b}$ と $\bar{c}$ はともに $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ で非零であるが、その積は $\bar{b}\,\bar{c} = \overline{bc} = \bar{p} = \bar{0}$ となる。

したがって $\bar{b}$ は零因子であり、零因子が乗法逆元を持つことはあり得ない:もし $\bar{b}$ が逆元 $\bar{b}^{-1}$ を持てば、$\bar{b}\,\bar{c} = \bar{0}$ の左から $\bar{b}^{-1}$ を掛けることで $\bar{c} = \bar{0}$ が強いられ矛盾する。ゆえに $p$ が合成数のとき $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ は体ではない。