Tiêu chuẩn để $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ là một trường

($\Leftarrow$) Giả sử $p$ là số nguyên tố, và lấy $\bar{a} \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ là lớp thặng dư khác không bất kỳ, đại diện bởi số nguyên $a$ với $1 \le a \le p - 1$. Vì $p$ nguyên tố và $p \nmid a$, ước chung lớn nhất của $a$ và $p$ là $\gcd(a,p) = 1$.

Theo đồng nhất thức Bézout, tồn tại các số nguyên $u, v \in \mathbb{Z}$ sao cho $au + pv = 1$. Lấy môđun $p$ hai vế làm triệt tiêu bội $pv$, còn lại $\bar{a}\,\bar{u} = \bar{1}$ trong $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Vậy $\bar{u} = \bar{a}^{-1}$ là nghịch đảo nhân của $\bar{a}$, và vì mọi phần tử khác không đều khả nghịch nên $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ là một trường.

($\Rightarrow$) Ngược lại, giả sử $p$ là hợp số, tức $p = bc$ với các số nguyên $1 < b, c < p$. Vì $b$ và $c$ nằm chặt giữa $0$ và $p$, hai lớp thặng dư $\bar{b}$ và $\bar{c}$ đều khác không trong $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, nhưng tích của chúng là $\bar{b}\,\bar{c} = \overline{bc} = \bar{p} = \bar{0}$.

Do đó $\bar{b}$ là một ước của không, và không một ước của không nào có thể có nghịch đảo nhân: nếu $\bar{b}$ có nghịch đảo $\bar{b}^{-1}$, nhân $\bar{b}^{-1}$ vào bên trái đẳng thức $\bar{b}\,\bar{c} = \bar{0}$ sẽ buộc $\bar{c} = \bar{0}$, mâu thuẫn. Vậy $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ không phải là trường khi $p$ là hợp số.