Hệ thức vectơ của trọng tâm tam giác

Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Vì $M$ chia đôi $BC$ nên hai vectơ $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MC}$ có cùng độ dài và ngược hướng, do đó $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$. Theo quy tắc ba điểm đi từ $G$ qua $M$, ta có $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MC})=2\overrightarrow{GM}$.

Theo tính chất đường trung tuyến của $\triangle ABC$, trọng tâm $G$ nằm trên trung tuyến $AM$ và chia nó theo tỉ số $2:1$ tính từ đỉnh, nghĩa là $\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GM}$.

Cộng hai hệ thức trên ta được $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=-2\overrightarrow{GM}+2\overrightarrow{GM}=\vec{0}$. Cuối cùng, với điểm $O$ bất kỳ, viết $\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OG}$ (và tương tự cho $B$ và $C$) cho ta $(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})-3\overrightarrow{OG}=\vec{0}$, hay $\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$.