Lớp 10

Vectơ

Đại lượng có cả độ lớn và hướng, được cộng và nhân vô hướng để mô tả độ dời và lực.

Trực giácVectơ là gì?

Khi bạn nói mình đã đi bộ ba kilômét, người nghe vẫn chưa biết bạn đang ở đâu: đi ba kilômét về phía đông dẫn tới một nơi hoàn toàn khác so với ba kilômét về phía bắc. Nhiều đại lượng trong vật lý và hình học—độ dời, vận tốc, gia tốc, lực—mang cả độ lớn (bao nhiêu) lẫn hướng (về phía nào). Một vectơ gói trọn cả hai thông tin đó vào một đối tượng toán học duy nhất, được vẽ như một mũi tên có hướng mà chiều dài biểu thị độ lớn và đầu mũi tên chỉ hướng.

Quy tắc hình bình hành của phép cộng vectơ: hai vectơ

\mathbf{u} = (a_{11}, a_{21})

và

\mathbf{v} = (a_{12}, a_{22})

căng một hình bình hành có đường chéo là tổng

\mathbf{u} + \mathbf{v}

Phổ thôngCộng vectơ và nhân vectơ với một số

Định nghĩa: Đoạn thẳng có hướng, độ lớn và hai vectơ bằng nhau

Vectơ có điểm đầu $A$ và điểm cuối $B$ được ký hiệu là $\overrightarrow{AB}$ , hoặc bằng một chữ cái $\vec{u}$ . Độ lớn (hay độ dài) của nó là khoảng cách giữa $A$ và $B$ , ký hiệu $|\overrightarrow{AB}|$ hoặc $|\vec{u}|$ . Vectơ-không $\vec{0}=\overrightarrow{AA}$ có độ dài bằng $0$ và hướng tùy ý. Hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là bằng nhau ( $\vec{u}=\vec{v}$ ) khi và chỉ khi chúng có cùng độ lớn và cùng hướng, không phụ thuộc vị trí điểm đầu.

\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}, \qquad \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} \quad (OACB \text{ parallelogram})

Để cộng hai vectơ theo quy tắc ba điểm (quy tắc tam giác), ta đặt điểm đầu của vectơ thứ hai trùng với điểm cuối của vectơ thứ nhất: đi từ $A$ đến $B$ rồi từ $B$ đến $C$ cho độ dời tổng hợp $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ . Tương đương, theo quy tắc hình bình hành, nếu $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ có cùng điểm đầu $O$ thì tổng $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ là đường chéo $\overrightarrow{OC}$ của hình bình hành $OACB$ . Trừ hai vectơ là cộng với vectơ đối: $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}$ .

|k\vec{u}| = |k|\,|\vec{u}|, \qquad \vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta

Nhân một vectơ $\vec{u}$ với một số thực $k$ (gọi là tích của vectơ với một số) tạo ra vectơ $k\vec{u}$ có độ dài $|k|\,|\vec{u}|$ , cùng hướng với $\vec{u}$ khi $k>0$ , ngược hướng khi $k<0$ , và bằng $\vec{0}$ khi $k=0$ . Tích vô hướng $\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta$ , trong đó $\theta$ là góc giữa $\vec{u}$ và $\vec{v}$ ( $0^\circ\le\theta\le 180^\circ$ ), kết hợp hai vectơ thành một số thực duy nhất đo mức độ cùng hướng của chúng; đặc biệt, hai vectơ khác không vuông góc với nhau ( $\vec{u}\perp\vec{v}$ ) khi và chỉ khi $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ .

Các phép toán vectơ cơ bản và ý nghĩa hình học
Phép toán	Công thức	Ý nghĩa hình học
Quy tắc ba điểm	$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$	Nối tiếp các độ dời từ đầu đến cuối
Quy tắc hiệu	$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}$	Vectơ hướng từ điểm ngọn $A$ sang điểm ngọn $B$
Hệ thức trung điểm	$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}$	Trung điểm $M$ của $AB$ cân bằng hai đầu mút
Tích vô hướng	$\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$	Hình chiếu đại số của vectơ này lên vectơ kia

Đại họcCác định lý trọng tâm

Định lý: Hệ thức vectơ của trọng tâm tam giác

Điểm $G$ là trọng tâm của $\triangle ABC$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ , hay tương đương, với mọi điểm gốc $O$ trong mặt phẳng, $\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ .

Vì sao đúng?

Nếu đặt ba chất điểm cùng khối lượng đơn vị tại ba đỉnh $A$ , $B$ và $C$ , thì các vectơ $\overrightarrow{GA}$ , $\overrightarrow{GB}$ và $\overrightarrow{GC}$ biểu diễn lực kéo từ $G$ về mỗi đỉnh; tổng của chúng bằng $\vec{0}$ đúng khi $G$ là khối tâm.

Chứng minh

Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ . Vì $M$ chia đôi $BC$ nên hai vectơ $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MC}$ có cùng độ dài và ngược hướng, do đó $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$ . Theo quy tắc ba điểm đi từ $G$ qua $M$ , ta có $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MC})=2\overrightarrow{GM}$ .

Theo tính chất đường trung tuyến của $\triangle ABC$ , trọng tâm $G$ nằm trên trung tuyến $AM$ và chia nó theo tỉ số $2:1$ tính từ đỉnh, nghĩa là $\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GM}$ .

Cộng hai hệ thức trên ta được $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=-2\overrightarrow{GM}+2\overrightarrow{GM}=\vec{0}$ . Cuối cùng, với điểm $O$ bất kỳ, viết $\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OG}$ (và tương tự cho $B$ và $C$ ) cho ta $(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})-3\overrightarrow{OG}=\vec{0}$ , hay $\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ .

Định lý: Tích vô hướng và Định lý côsin

Với hai vectơ bất kỳ $\vec{u}=(x_1,y_1)$ và $\vec{v}=(x_2,y_2)$ tạo với nhau góc $\theta$ , tích vô hướng hình học $\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta$ bằng biểu thức tọa độ $x_1x_2+y_1y_2$ .

Vì sao đúng?

Khai triển $|\vec{u}-\vec{v}|^2$ theo tọa độ rồi so sánh với Định lý côsin trên tam giác tạo bởi $\vec{u}$ , $\vec{v}$ và $\vec{u}-\vec{v}$ sẽ triệt tiêu các bình phương độ dài và giữ lại đúng số hạng chéo $x_1x_2+y_1y_2$ .

Chứng minh

Đặt $\vec{u}=\overrightarrow{OA}$ và $\vec{v}=\overrightarrow{OB}$ tại gốc tọa độ $O$ sao cho $\overrightarrow{AB}=\vec{v}-\vec{u}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$ . Theo Định lý côsin trong $\triangle OAB$ , bình phương độ dài cạnh đối diện góc $\theta$ là $|\vec{v}-\vec{u}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-2|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta$ .

Mặt khác, tính bình phương độ dài theo tọa độ cho ta $|\vec{u}|^2=x_1^2+y_1^2$ , $|\vec{v}|^2=x_2^2+y_2^2$ , và $|\vec{v}-\vec{u}|^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-2(x_1x_2+y_1y_2)$ .

Cho hai biểu thức của $|\vec{v}-\vec{u}|^2$ bằng nhau và trừ $x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2$ ở cả hai vế, ta được $-2|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta=-2(x_1x_2+y_1y_2)$ . Chia hai vế cho $-2$ thu được $\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta=x_1x_2+y_1y_2$ .

Đại họcỨng dụng thực tiễn và Ví dụ minh họa

Trong cơ học, hàng không và đồ họa máy tính, vectơ là ngôn ngữ chuẩn để tổng hợp chuyển động và lực. Một máy bay bay qua gió ngang chuyển động theo tổng vectơ của vận tốc riêng và vận tốc gió; một bộ máy vật lý tính công cơ học và độ chiếu sáng bề mặt bằng cách lấy tích vô hướng giữa vectơ lực, độ dời và vectơ pháp tuyến.

Ví dụ: Hợp lực của hai tàu kéo

Hai tàu kéo cùng kéo một sà lan với lực $\vec{F}_1$ có độ lớn $|\vec{F}_1|=300$ kN hướng chính đông và lực $\vec{F}_2$ có độ lớn $|\vec{F}_2|=400$ kN hướng chính bắc. Tìm độ lớn $|\vec{F}|$ của hợp lực $\vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2$ .

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ với chiều dương trục thứ nhất chỉ hướng đông và chiều dương trục thứ hai chỉ hướng bắc, khi đó $\vec{F}_1=(300,0)$ và $\vec{F}_2=(0,400)$ .

Cộng hai vectơ theo từng thành phần cho hợp lực $\vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2=(300,400)$ . Độ lớn của hợp lực là $|\vec{F}|=\sqrt{300^2+400^2}=\sqrt{90000+160000}=\sqrt{250000}=500$ kN.

Ví dụ: Công cơ học qua tích vô hướng

Một thùng hàng được kéo dọc theo sàn ngang bởi sợi dây tác dụng lực $\vec{F}$ có độ lớn $|\vec{F}|=50$ N hợp với phương ngang góc $\theta=60^\circ$ trên đoạn độ dời $\vec{d}$ có độ dài $|\vec{d}|=10$ m. Tính công cơ học $W=\vec{F}\cdot\vec{d}$ .

Lời giải

Theo định nghĩa công cơ học là tích vô hướng của lực và độ dời, ta có $W=\vec{F}\cdot\vec{d}=|\vec{F}|\,|\vec{d}|\cos\theta$ .

Thay $|\vec{F}|=50$ , $|\vec{d}|=10$ và $\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}$ cho $W=50\times 10\times\dfrac{1}{2}=250$ J. Chỉ thành phần nằm ngang $|\vec{F}|\cos 60^\circ=25$ N dọc theo $\vec{d}$ mới sinh công.

Độ lớn $|\vec{u}|$ của vectơ $\vec{u}=(6,-8)$ bằng bao nhiêu?

Cho $G$ là trọng tâm của $\triangle ABC$ . Nếu $\overrightarrow{GA}=(2,-1)$ và $\overrightarrow{GB}=(-5,4)$ thì $\overrightarrow{GC}$ bằng bao nhiêu?

Với giá trị nào của $m$ thì hai vectơ $\vec{u}=(3,4)$ và $\vec{v}=(m,-6)$ vuông góc với nhau?

Một máy bay giao hàng bay $12$ km về hướng đông từ $A$ đến $B$ rồi bay $5$ km về hướng bắc từ $B$ đến $C$ . Độ lớn $|\overrightarrow{AC}|$ của độ dời tổng hợp bằng bao nhiêu?

Tài liệu tham khảo

H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer (1967). Geometry Revisited
Murray R. Spiegel (1959). Schaum's Outline of Vector Analysis