Tích vô hướng và Định lý côsin

Đặt $\vec{u}=\overrightarrow{OA}$ và $\vec{v}=\overrightarrow{OB}$ tại gốc tọa độ $O$ sao cho $\overrightarrow{AB}=\vec{v}-\vec{u}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$. Theo Định lý côsin trong $\triangle OAB$, bình phương độ dài cạnh đối diện góc $\theta$ là $|\vec{v}-\vec{u}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-2|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta$.

Mặt khác, tính bình phương độ dài theo tọa độ cho ta $|\vec{u}|^2=x_1^2+y_1^2$, $|\vec{v}|^2=x_2^2+y_2^2$, và $|\vec{v}-\vec{u}|^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-2(x_1x_2+y_1y_2)$.

Cho hai biểu thức của $|\vec{v}-\vec{u}|^2$ bằng nhau và trừ $x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2$ ở cả hai vế, ta được $-2|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta=-2(x_1x_2+y_1y_2)$. Chia hai vế cho $-2$ thu được $\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta=x_1x_2+y_1y_2$.