Bảo toàn năng lượng sóng

Đạo hàm $E(t)$ dưới dấu tích phân: $E'(t) = \int_0^L \left(u_t u_{tt} + c^2 u_x u_{xt}\right)dx$.

Thay $u_{tt}=c^2 u_{xx}$ từ phương trình sóng vào ta được $E'(t) = \int_0^L \left(c^2 u_t u_{xx} + c^2 u_x u_{xt}\right)dx = c^2\int_0^L \left(u_t u_{xx} + u_x u_{xt}\right)dx$. Nhận thấy phần dưới dấu tích phân chính là đạo hàm $\tfrac{\partial}{\partial x}(u_t u_x)$, nên $E'(t) = c^2\Big[u_t u_x\Big]_0^L$.

Áp dụng điều kiện biên hai đầu cố định $u(0,t)=u(L,t)=0$, từ đó suy ra $u_t(0,t)=u_t(L,t)=0$ (bằng cách lấy đạo hàm điều kiện biên theo $t$). Do đó $E'(t) = c^2\big(u_t(L,t)u_x(L,t) - u_t(0,t)u_x(0,t)\big) = 0$, nên $E(t)=E(0)$ là hằng số với mọi $t\ge 0$.