Phương trình vi phân và Hệ động lực

Phương trình sóng

Một sợi dây bị gảy, một hòn đá ném xuống ao, và một chùm ánh sáng đều tuân theo cùng một phương trình đạo hàm riêng. Hai họ nghiệm nắm bắt trọn vẹn mọi thứ: sóng lan truyền, và sóng đứng yên chỉ dao động tại chỗ.

Trực giácMột sợi dây bị gảy, đóng băng theo thời gian

Gảy một dây đàn guitar và ghi lại độ cao của nó tại mọi điểm, tại mọi thời điểm: ta được một hàm $u(x,t)$ , độ dịch chuyển tại vị trí $x$ và thời gian $t$ . Ném một hòn đá xuống mặt ao lặng, các gợn sóng lan ra ngoài cũng tuân theo cùng một loại quy luật, chỉ là trong hai chiều không gian thay vì một. Trong mọi trường hợp, sự kiện vật lý then chốt mang tính cục bộ: gia tốc tại một điểm chỉ phụ thuộc vào việc sóng cong đến mức nào ngay tại đó — một sợi dây căng kéo một chỗ lõm trở lại mạnh hơn khi chỗ lõm đó càng nhọn. Chính ý tưởng đơn giản đó, "gia tốc tỉ lệ với độ cong," chính là phương trình sóng.

Một gợn sóng lan ra ngoài, giống như các sóng tròn trên mặt ao sau khi một hòn đá rơi vào tâm — độ cao giảm dần theo khoảng cách trong khi mẫu sóng lan rộng ra ngoài với tốc độ không đổi.

Đại họcTừ định luật hai Newton tới một phương trình đạo hàm riêng

Mô hình hóa một sợi dây lý tưởng chịu lực căng $T$ với mật độ khối lượng $\rho$ trên một đơn vị chiều dài, dao động với độ dịch chuyển thẳng đứng nhỏ $u(x,t)$ . Áp dụng định luật hai Newton cho một đoạn ngắn $[x, x+dx]$ , dùng phép xấp xỉ góc nhỏ cho các thành phần thẳng đứng của lực căng, ta được $\rho\, u_{tt} = T\, u_{xx}$ . Viết $c^2 = T/\rho$ (một tốc độ, vì $T$ có đơn vị lực còn $\rho$ là khối lượng trên chiều dài) biến nó thành dạng chuẩn.

u_{tt} = c^2\, u_{xx}

Đại họcSóng lan truyền: nghiệm của d'Alembert

Trên toàn bộ đường thẳng $\mathbb{R}$ , đổi sang tọa độ đặc trưng $\xi = x - ct$ , $\eta = x + ct$ . Quy tắc dây chuyền biến $u_{tt} = c^2 u_{xx}$ thành phương trình đơn giản hơn nhiều $u_{\xi\eta} = 0$ , có nghiệm tổng quát $u = F(\xi) + G(\eta) = F(x-ct) + G(x+ct)$ với các hàm $F, G$ khả vi hai lần tùy ý — một sóng chuyển động sang phải cộng một sóng chuyển động sang trái, cả hai đều lan truyền với tốc độ $c$ mà không đổi hình dạng. Khớp điều kiện này với vị trí đầu $u(x,0)=\varphi(x)$ và vận tốc đầu $u_t(x,0)=\psi(x)$ xác định chính xác $F$ và $G$ .

Định lý: Công thức d'Alembert

Với $u_{tt} = c^2 u_{xx}$ trên $\mathbb{R}\times(0,\infty)$ có $u(x,0)=\varphi(x)$ , $u_t(x,0)=\psi(x)$ , nghiệm duy nhất là $u(x,t) = \tfrac{1}{2}\big(\varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)\big) + \tfrac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)\,ds$ .

Vì sao đúng?

Bất cứ điều gì xảy ra tại $(x,t)$ chỉ có thể phụ thuộc vào dữ kiện đầu trên $[x-ct, x+ct]$ : thông tin không thể lan truyền nhanh hơn $c$ . Tốc độ lan truyền hữu hạn này là đặc điểm định hình phân biệt phương trình sóng với, chẳng hạn, phương trình nhiệt, nơi một nhiễu loạn ban đầu được cảm nhận khắp nơi ngay lập tức.

Chứng minh

Đổi sang tọa độ đặc trưng như trên để được $u=F(x-ct)+G(x+ct)$ ; áp đặt $u(x,0)=\varphi(x)$ và $u_t(x,0)=\psi(x)$ cho hai phương trình đối với $F$ và $G$ theo $\varphi$ và một nguyên hàm của $\psi$ , kết hợp lại thành công thức đã nêu.

Ví dụ: Một xung bị gảy tách thành hai

Một sợi dây vô hạn bắt đầu ở trạng thái nghỉ ( $\psi(x)=0$ ) với một xung hình tam giác $\varphi(x) = 1-|x|$ khi $|x|\le1$ và $\varphi(x)=0$ ở nơi khác. Mô tả $u(x,t)$ với $t>0$ .

Lời giải

Vì $\psi=0$ nên số hạng tích phân triệt tiêu và $u(x,t) = \tfrac12\big(\varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)\big)$ : xung ban đầu, ở một nửa độ cao, tách thành hai bản sao giống hệt nhau di chuyển ra xa nhau với tốc độ $c$ , một sang phải và một sang trái. Ở nơi hai bản sao còn chồng lên nhau (khi $t$ nhỏ), các độ cao đơn giản cộng lại, tạm thời dựng lại một phần hình dạng ban đầu; khi $ct>1$ chúng đã tách rời hoàn toàn.

Ví dụ: Thời gian đến của sóng địa chấn và khoảng cách tới tâm chấn

Một trạm địa chấn phát hiện sóng P (sóng nén, tốc độ $c_P = 6\text{ km/s}$ ) đến tại thời điểm $t_P = 0$ và sóng S (sóng cắt, tốc độ $c_S = 3.5\text{ km/s}$ ) đến sau $\Delta t = 45$ giây. Giả sử cả hai sóng được sinh ra đồng thời từ cùng một nguồn và truyền theo đường thẳng, tìm khoảng cách $d$ tới tâm chấn động đất.

Lời giải

Bước 1 — Thiết lập phương trình thời gian. Sóng P đi khoảng cách $d$ trong thời gian $d/c_P$ và sóng S mất thời gian $d/c_S$ . Độ trễ đo được là $\Delta t = d/c_S - d/c_P$ .

**Bước 2 — Giải tìm $d$ .** Nhân thừa số $d$ : $\Delta t = d\left(\tfrac{1}{c_S} - \tfrac{1}{c_P}\right)$ , nên $d = \dfrac{\Delta t}{\tfrac{1}{c_S}-\tfrac{1}{c_P}}$ .

Bước 3 — Thay số. $\tfrac{1}{c_S}-\tfrac{1}{c_P} = \tfrac{1}{3.5}-\tfrac{1}{6} \approx 0.2857 - 0.1667 = 0.1190\text{ s/km}$ , nên $d = \dfrac{45}{0.1190} \approx 378\text{ km}$ . Đây là phương pháp S-P địa chấn học tiêu chuẩn dùng để định vị động đất với một trạm đơn.

Đại họcSóng đứng và chuỗi Fourier trên một sợi dây hữu hạn

Bây giờ cố định hai đầu dây: $u(0,t)=u(L,t)=0$ với dây có chiều dài $L$ . Tách biến, $u(x,t)=X(x)T(t)$ , buộc $X$ phải thỏa $X''+\lambda X=0$ với $X(0)=X(L)=0$ — một bài toán trị riêng có nghiệm chính xác là $X_n(x)=\sin(n\pi x/L)$ , $\lambda_n=(n\pi/L)^2$ , với $n=1,2,3,\dots$ . Mỗi $X_n$ như vậy ghép với $T_n(t)=\cos(n\pi ct/L+\text{phase})$ để cho một mode chuẩn: cả sợi dây dao động tại chỗ, mọi điểm đều qua giá trị không tại cùng một thời điểm. Đây chính xác là các hình dạng thấy trong [Chuỗi Fourier](/chuoi-fourier) — phương trình sóng là nơi cơ sở sin của chủ đề đó ra đời, trong phân tích năm 1753 của Daniel Bernoulli về đúng bài toán này.

u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi c t}{L}\right), \qquad b_n = \frac{2}{L}\int_0^L \varphi(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx

Một sóng tam giác (hình dạng của một sợi dây bị gảy tại điểm giữa) được dựng từ

5

họa âm sin — chính là các mode chuẩn

\sin(n\pi x/L)

mà sợi dây bị gảy phân rã thành.

Nâng caoBảo toàn năng lượng và các chiều cao hơn

Tổng năng lượng $E(t) = \frac12\int_0^L \left(u_t^2 + c^2 u_x^2\right) dx$ (động năng cộng thế năng đàn hồi) được bảo toàn: đạo hàm dưới dấu tích phân, lấy tích phân từng phần, và dùng $u_{tt}=c^2u_{xx}$ cùng với điều kiện biên hai đầu cố định khiến $E'(t)=0$ . Điều này vừa xác nhận vật lý (một sợi dây không ma sát không bao giờ cạn năng lượng) vừa cho một chứng minh gọn gàng rằng nghiệm của d'Alembert và các mode chuẩn là những nghiệm duy nhất: nếu hai nghiệm có cùng dữ kiện đầu, hiệu của chúng sẽ có năng lượng bằng không, do đó đồng nhất bằng không.

Định lý: Bảo toàn năng lượng sóng

Cho $u(x,t)$ là nghiệm của phương trình sóng $u_{tt}=c^2 u_{xx}$ trên $[0,L]$ với điều kiện biên hai đầu cố định $u(0,t)=u(L,t)=0$ . Tổng năng lượng $E(t) = \tfrac{1}{2}\int_0^L \left(u_t^2 + c^2 u_x^2\right)dx$ là hằng số: $E'(t)=0$ với mọi $t>0$ .

Vì sao đúng?

Năng lượng gồm hai phần: động năng $\tfrac12\int u_t^2\,dx$ (khối lượng chuyển động) và thế năng đàn hồi $\tfrac12 c^2\int u_x^2\,dx$ (dây bị giãn). Phương trình sóng chuyển đổi động năng thành thế năng đàn hồi và ngược lại, với cùng tốc độ, giữ tổng không đổi — giống như con lắc trao đổi động năng và thế năng mà không bị mất mát.

Chứng minh

Đạo hàm $E(t)$ dưới dấu tích phân: $E'(t) = \int_0^L \left(u_t u_{tt} + c^2 u_x u_{xt}\right)dx$ .

Thay $u_{tt}=c^2 u_{xx}$ từ phương trình sóng vào ta được $E'(t) = \int_0^L \left(c^2 u_t u_{xx} + c^2 u_x u_{xt}\right)dx = c^2\int_0^L \left(u_t u_{xx} + u_x u_{xt}\right)dx$ . Nhận thấy phần dưới dấu tích phân chính là đạo hàm $\tfrac{\partial}{\partial x}(u_t u_x)$ , nên $E'(t) = c^2\Big[u_t u_x\Big]_0^L$ .

Áp dụng điều kiện biên hai đầu cố định $u(0,t)=u(L,t)=0$ , từ đó suy ra $u_t(0,t)=u_t(L,t)=0$ (bằng cách lấy đạo hàm điều kiện biên theo $t$ ). Do đó $E'(t) = c^2\big(u_t(L,t)u_x(L,t) - u_t(0,t)u_x(0,t)\big) = 0$ , nên $E(t)=E(0)$ là hằng số với mọi $t\ge 0$ .

Trong hai chiều không gian, một màng trống hình chữ nhật cố định ở các cạnh có các mode chuẩn $\sin(mx)\sin(ny)$ ; hình dưới đây cho thấy mẫu liên quan $\sin(x)\cos(y)$ , một sóng đứng gợn khắp một mặt phẳng thay vì dọc theo một đường thẳng. Các chiều cao hơn cũng mang lại một khác biệt định tính nổi bật gọi là nguyên lý Huygens: trong các chiều không gian lẻ $3, 5, 7,\dots$ , một nhiễu loạn cục bộ tạo ra một mặt sóng sắc nét rồi im lặng sau đó (đây là lý do vì sao âm thanh nghe rõ được), còn trong các chiều chẵn $2, 4, \dots$ (và ở chiều $1$ ) một nhiễu loạn để lại một "vệt sóng" dai dẳng không bao giờ tắt hẳn.

Một mode sóng đứng

z=\sin x\cos y

trên một màng 2D: một khoảnh khắc chụp nhanh, với toàn bộ mẫu ca-rô các đỉnh và đáy dâng lên hạ xuống tại chỗ thay vì di chuyển sang ngang.

Ghi chú lịch sử

Phương trình sóng là chủ đề của một trong những cuộc tranh cãi lớn của toán học thế kỷ 18. Jean le Rond d'Alembert suy ra nghiệm sóng lan truyền năm 1747. Leonhard Euler đồng ý với phần toán học năm 1748 nhưng cho phép các hình dạng đầu tổng quát hơn (thậm chí không khả vi) so với những gì d'Alembert sẵn sàng chấp nhận, vì một sợi dây bị gảy trong thực tế có một góc nhọn tại điểm gảy. Daniel Bernoulli sau đó khẳng định năm 1753 rằng mọi nghiệm đều có thể viết thành một tổng vô hạn các mode chuẩn sin $\sin(n\pi x/L)$ — một khẳng định mà cả d'Alembert lẫn Euler đều khó tin, vì nó dường như ngụ ý rằng một hình dạng có góc nhọn có thể là tổng của các đường cong sin hoàn toàn trơn. Cuộc tranh cãi chỉ được giải quyết nhiều thập kỷ sau, khi công trình của Joseph Fourier về nhiệt (1807, 1822) và lý thuyết hội tụ thế kỷ 19 làm rõ chính xác "bằng" nên có nghĩa là gì đối với một tổng vô hạn như vậy.

Leonhard Euler

Phương trình sóng $u_{tt} = c^2 u_{xx}$ cần bao nhiêu dữ kiện đầu để xác định một nghiệm duy nhất?

Trong công thức d'Alembert, giá trị tại $(x,t)$ chỉ phụ thuộc vào dữ kiện đầu trên khoảng nào?

Với một sợi dây chiều dài $L$ cố định ở hai đầu, các mode chuẩn (sóng đứng) có hình dạng không gian là

Công thức d'Alembert $u(x,t)=\tfrac12[\varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)]+\tfrac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)\,ds$ rút gọn thành đúng $u(x,t)=\tfrac12[\varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)]$ khi và chỉ khi

Tài liệu tham khảo

Lawrence C. Evans (2010). Partial Differential Equations · DOI:10.1090/gsm/019
Walter A. Strauss (2008). Partial Differential Equations: An Introduction
Jean le Rond d'Alembert (1747). Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration