MathLabs
Định lýĐã chứng minh

Định lý Wilson

Phát biểu

Một số tự nhiên p>1p>1 là số nguyên tố khi và chỉ khi (p−1)!≡−1(modp)(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}.

Vì sao đúng?

Theo mô đun số nguyên tố pp, mỗi thặng dư từ 11 đến p−1p-1 ghép cặp với nghịch đảo nhân của nó, và chỉ 11 và p−1≡−1p-1\equiv-1 tự là nghịch đảo của chính mình. Nhân tất cả các thặng dư, các phần tử tự ghép cặp còn lại, phần còn lại khử nhau theo từng cặp nghịch đảo, cho ra (p−1)!≡−1(p-1)!\equiv -1.

Phác thảo chứng minh

(⇒\Rightarrow) Với pp nguyên tố, ghép cặp mỗi k∈{2,…,p−2}k\in\{2,\dots,p-2\} với nghịch đảo của nó theo mô đun pp (không bao giờ là chính nó, vì x2≡1(modp)x^2\equiv1\pmod p chỉ khi x≡±1x\equiv\pm1); các cặp này nhân với nhau cho ra 11, còn lại (p−1)!≡1⋅(p−1)≡−1(modp)(p-1)!\equiv 1\cdot(p-1)\equiv -1\pmod p. (⇐\Leftarrow) Nếu nn là hợp số với ước thực sự 1<d<n1<d<n, thì dd xuất hiện như một thừa số trong (n−1)!(n-1)!, nên d∣(n−1)!d\mid(n-1)! và (n−1)!≢−1(modn)(n-1)!\not\equiv-1\pmod n.

Người chứng minh

chứng minh năm 1771Joseph-Louis Lagrange

Chủ đề chứa định lý này

Đồng dư và số học modulo

Định lý liên quan

Định lý Fermat nhỏ

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

  1. G. H. Hardy, E. M. Wright (2008). An Introduction to the Theory of Numbers
  2. Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach (2011). A History of Mathematics