Định lýĐã chứng minh

Định lý Fermat nhỏ

Phát biểu

Nếu $p$ là số nguyên tố và $a$ là số nguyên không chia hết cho $p$ , thì $a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}$ .

Vì sao đúng?

Nhân các số $1,2,\dots,p-1$ với $a$ rồi lấy đồng dư theo mô đun $p$ chỉ đơn thuần hoán vị chúng, vì $a$ khả nghịch theo mô đun $p$ . Vậy tích của danh sách đã hoán vị bằng tích của danh sách gốc; khử nhân tử chung $(p-1)!$ cho ra $a^{p-1}\equiv 1$ .

Phác thảo chứng minh

Ánh xạ $k\mapsto ak\bmod p$ hoán vị $\{1,\dots,p-1\}$ vì $a$ khả nghịch theo mô đun $p$ (do $p\nmid a$ ). Nhân tất cả các thặng dư ta được $\prod_{k=1}^{p-1}(ak) \equiv \prod_{k=1}^{p-1} k \pmod p$ , tức $a^{p-1}(p-1)! \equiv (p-1)! \pmod p$ . Vì $\gcd((p-1)!,p)=1$ , khử để được $a^{p-1}\equiv 1\pmod p$ .

Người phát biểu

nêu năm 1640Pierre de Fermat

Người chứng minh

chứng minh năm 1736Leonhard Euler

Chủ đề chứa định lý này

Định lý Fermat nhỏ, định lý Euler Đồng dư và số học modulo

Định lý liên quan

Định lý Euler (hàm phi)Định lý Wilson

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Leonhard Euler (1736). Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio
G. H. Hardy, E. M. Wright (2008). An Introduction to the Theory of Numbers · DOI:10.1093/oso/9780199219858.001.0001