Định lýĐã chứng minh

Định lý Bayes

Phát biểu

Cho $B_1, B_2, \ldots, B_n$ là một phân hoạch của $\Omega$ với $P(B_i) > 0$ với mọi $i$ , và $A$ là một biến cố với $P(A) > 0$ . Khi đó với mỗi $i$ , $P(B_i \mid A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j) \cdot P(A \mid B_j)}$ .

Vì sao đúng?

Định lý Bayes đảo ngược chiều của điều kiện hóa: nó xuất phát từ việc bằng chứng $A$ có khả năng xảy ra ra sao dưới mỗi giả thuyết $B_i$ (thường dễ biết hoặc dễ đo), rồi trả về mỗi giả thuyết có khả năng đúng ra sao một khi bằng chứng $A$ đã thực sự được quan sát (thường là điều ta thực sự muốn biết), bằng cách gán lại trọng số cho mỗi xác suất tiên nghiệm $P(B_i)$ theo mức độ nó giải thích tốt $A$ đến đâu.

Phác thảo chứng minh

Bước 1 (viết $P(B_i \cap A)$ theo hai cách): áp dụng quy tắc nhân theo cả hai chiều, $P(B_i \cap A) = P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$ và cũng $P(B_i \cap A) = P(A) \cdot P(B_i \mid A)$ , vì $P(A) > 0$ .

Bước 2 (cho hai biểu thức bằng nhau và giải): cho hai biểu thức của $P(B_i \cap A)$ bằng nhau, ta có $P(A) \cdot P(B_i \mid A) = P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$ , chia cả hai vế cho $P(A)$ được $P(B_i \mid A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)}{P(A)}$ .

Bước 3 (khai triển mẫu số bằng định lý xác suất toàn phần): vì $B_1, \ldots, B_n$ phân hoạch $\Omega$ , định lý xác suất toàn phần cho $P(A) = \sum_{j=1}^{n} P(B_j) \cdot P(A \mid B_j)$ .

Bước 4 (thay vào để hoàn tất): thay $P(A)$ ở Bước 2 bằng tổng này cho đúng $P(B_i \mid A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j) \cdot P(A \mid B_j)}$ , chính là định lý Bayes.

Chủ đề chứa định lý này

Xác suất có điều kiện, Bayes

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.