Định lý xác suất toàn phần

Bước 1 (phân hoạch $A$ theo các $B_i$): đặt $A_i = A \cap B_i$ với mỗi $i = 1, \ldots, n$. Vì các $B_i$ rời nhau đôi một, nên các $A_i$ cũng rời nhau, và vì $B_1 \cup \cdots \cup B_n = \Omega \supseteq A$, mỗi kết cục của $A$ nằm trong đúng một $A_i$, nên $A = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$ với hợp rời nhau.

Bước 2 (cộng xác suất các phần rời nhau): vì xác suất có tính cộng trên các biến cố rời nhau đôi một, $P(A) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots + P(A_n) = \sum_{i=1}^{n} P(A \cap B_i)$.

Bước 3 (viết lại mỗi số hạng bằng quy tắc nhân): với mỗi $i$, quy tắc nhân cho $P(A \cap B_i) = P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$, biểu thức này xác định tốt vì $P(B_i) > 0$.

Bước 4 (thay ngược lại): thay mỗi $P(A \cap B_i)$ ở Bước 2 bằng $P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$ cho đúng $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$, như đã phát biểu.