Bổ đềĐã chứng minh

Bổ đề Yoneda

Phát biểu

Cho $\mathcal{C}$ là một phạm trù nhỏ địa phương, $A$ là một đối tượng của $\mathcal{C}$ , và $F:\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ là một hàm tử. Có một song ánh $\mathrm{Nat}(\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(-,A),\,F)\cong F(A)$ , tự nhiên theo cả $A$ và $F$ . Đặc biệt, phép nhúng Yoneda $A\mapsto \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(-,A)$ là đầy đủ và trung thành.

Vì sao đúng?

Một đối tượng được xác định hoàn toàn, sai khác đẳng cấu, bởi mạng lưới các mũi tên trỏ vào nó từ mọi đối tượng khác trong phạm trù — ta không bao giờ cần nhìn 'bên trong' một đối tượng, chỉ cần biết nó quan hệ thế nào với mọi thứ khác.

Phác thảo chứng minh

Cho một phép biến đổi tự nhiên $\eta:\mathrm{Hom}(-,A)\to F$ , đánh giá nó tại mũi tên đồng nhất $\mathrm{id}_A\in\mathrm{Hom}(A,A)$ để được một phần tử $\eta_A(\mathrm{id}_A)\in F(A)$ . Ngược lại, cho $u\in F(A)$ , định nghĩa $\eta_X(f)=F(f)(u)$ với mọi mũi tên $f:X\to A$ . Kiểm tra trực tiếp dùng tính tự nhiên cho thấy hai cách xây dựng này là nghịch đảo của nhau.

Chủ đề chứa định lý này

Bổ đề Yoneda Phạm trù và hàm tử

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Saunders Mac Lane (1978). Categories for the Working Mathematician
Nobuo Yoneda (1954). On the homology theory of modules