亚太数学奥林匹克 · 1989年

试题

第1题设 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 为正实数，且 $S=x_1+x_2+\cdots+x_n$ 。证明 $(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\le 1+S+\dfrac{S^2}{2!}+\dfrac{S^3}{3!}+\cdots+\dfrac{S^n}{n!}$ 。解法: 1
第2题证明方程 $6(6a^2+3b^2+c^2)=5n^2$ 除 $a=b=c=n=0$ 外没有整数解。解法: 1
第3题设 $A_1,A_2,A_3$ 为平面上三点，令 $A_4=A_1$ 且 $A_5=A_2$ 。对 $n=1,2,3$ ，令 $B_n$ 为 $A_nA_{n+1}$ 的中点， $C_n$ 为 $A_nB_n$ 的中点。令 $D_n=A_nC_{n+1}\cap B_nA_{n+2}$ ， $E_n=A_nB_{n+1}\cap C_nA_{n+2}$ 。求三角形 $D_1D_2D_3$ 与三角形 $E_1E_2E_3$ 的面积比。解法: 1
第4题设 $S$ 是由 $m$ 个满足 $1\le a<b\le n$ 的正整数对 $(a,b)$ 组成的集合。证明存在至少 $\dfrac{m(4m-n^2)}{3n}$ 个三元组 $(a,b,c)$ ，使得 $(a,b),(a,c)$ 和 $(b,c)$ 都属于 $S$ 。解法: 1
第5题求所有满足下列条件的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ ：(1) $f$ 严格递增；(2) 对所有实数 $x$ ，有 $f(x)+g(x)=2x$ ，其中 $g$ 是 $f$ 的复合逆函数。解法: 1