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亚太数学奥林匹克 · 1990年

试题

  1. 第1题在三角形 ABCABC 中，设 D,E,FD,E,F 分别是 BC,CA,ABBC,CA,AB 的中点，GG 是重心。对于 ∠BAC\angle BAC 的每一个取值，求使四边形 AEGFAEGF 内接于圆的、彼此不相似的三角形有多少个。解法: 1
  2. 第2题设 a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n 为正实数，令 SrS_r 表示从中任取 rr 个数所得各乘积之和。证明对 k=1,2,…,n−1k=1,2,\ldots,n-1，有 SkSn−k≥(nk) ⁣2SnS_kS_{n-k}\ge\binom{n}{k}^{\!2}S_n。解法: 1
  3. 第3题考虑所有底边 ABAB 固定且从 CC 作出的高为常数 hh 的三角形 ABCABC。其中哪个三角形的三条高之积最大？解法: 1
  4. 第4题设有 n 个顶点的图 G 满足：(i) 没有顶点与其余所有顶点都相邻；(ii) 图中不含三角形；(iii) 对任意两个不相邻的顶点 A、B，恰有一个顶点 C 同时与二者相邻。证明所有顶点的度数相同，并求可能的最小 n。解法: 1
  5. 第5题证明：对每个整数 n>=6，都存在一个可以恰好剖分成 n 个全等三角形的凸六边形。解法: 1