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亚太数学奥林匹克 · 1995年

试题

  1. 第1题求满足 2an−(n−1)≥an+1−(n−1)2\sqrt{a_n-(n-1)}\ge a_{n+1}-(n-1)（n=1,2,…,1994n=1,2,\ldots,1994）以及 2a1995−1994≥a1+12\sqrt{a_{1995}-1994}\ge a_1+1 的所有实数列 (a1,a2,…,a1995)(a_1,a_2,\ldots,a_{1995})。解法: 1
  2. 第3题设 PQRSPQRS 是圆内接四边形，且直线 PQPQ 与 RSRS 不平行。令 A\mathcal A 为一条过 P,QP,Q 的圆与一条过 R,SR,S 的圆的切点集合。求 A\mathcal A。解法: 1
  3. 第4题设 CC 是半径为 RR、圆心为 OO 的圆，SS 是其内部定点。设 AA′AA' 与 BB′BB' 是过 SS 的互相垂直的弦，构造矩形 SAMBSAMB、SB′N′A′SB'N'A'、SA′M′B′SA'M'B' 和 SBNASBNA。当 AA 在 CC 上运动时，求四点 M,N′,M′,NM,N',M',N 的轨迹。解法: 1
  4. 第5题求最小正整数 kk，使得存在函数 f:Z→{1,2,…,k}f:\mathbb Z\to\{1,2,\dots,k\}，满足当 ∣x−y∣∈{5,7,12}|x-y|\in\{5,7,12\} 时总有 f(x)≠f(y)f(x)\ne f(y)。解法: 1