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亚太数学奥林匹克 · 2001年

试题

  1. 第1题对正整数 n，令 S(n) 为 n 的十进制表示中各位数字之和。从 n 的右端至少去掉一位数字所得的正整数称为 n 的 stump。令 T(n) 为所有 stump 之和。证明 n=S(n)+9T(n)。解法: 1
  2. 第2题求最大的正整数 NN，使得集合 {1,2,…,N}\{1,2,\dots,N\} 中能被 33 整除的整数个数，等于能被 55 或 77（或两者）整除的整数个数。解法: 1
  3. 第3题平面上有两个全等的正 nn 边形 SS 和 TT，且它们的交集是一个 2n2n 边形（n≥3n \ge 3）。将 SS 的边染红、TT 的边染蓝。证明 S∩TS\cap T 的蓝色边长总和等于红色边长总和。解法: 1
  4. 第4题在笛卡尔坐标平面中，若一个坐标为有理数而另一个为无理数，则称该点为混合点。求图像不含混合点的所有实系数多项式。解法: 1
  5. 第5题求最大的整数 nn，使得平面上存在 n+4n+4 个点 A,B,C,D,X1,…,XnA,B,C,D,X_1,\dots,X_n，满足 AB≠CDAB\ne CD 且对每个 i=1,2,…,ni=1,2,\dots,n，三角形 ABXiABX_i 与 CDXiCDX_i 全等。解法: 1