MathLabs

第2题

设正实数 a,b,c 满足 abc=8。证明 a 的平方除以 (1+a 的立方)(1+b 的立方) 的平方根,再加上两个循环项,其和不小于 4/3。
第 4/5 步：用均值不等式估计 S
上一步下一步
S≥2⋅3(abc)2/3+3((ab)2(bc)2(ca)2)1/3=24+48=72S\ge2\cdot3(abc)^{2/3}+3((ab)^2(bc)^2(ca)^2)^{1/3}=24+48=72
详细分析

由 abc=8 用均值不等式得 a 的平方+b 的平方+c 的平方≥12,且 (ab) 的平方+(bc) 的平方+(ca) 的平方≥48。因此 S≥72,等号仅在 a=b=c=2 时成立。