MathLabs

第5题

在三角形 ABC 中,点 M,N 分别在 AB,AC 上且 MB=BC=CN。若 ABC 的外接圆半径与内切圆半径分别为 R,r,用 R,r 表示 MN/BC。
第 5/5 步：应用欧拉公式
上一步下一步
OI2=R2−2Rr⟹MNBC=1−2rROI^2=R^2-2Rr\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{MN}{BC}=\sqrt{1-\dfrac{2r}{R}}
详细分析

三角形的欧拉公式为 OI 的平方=R 的平方−2Rr。由于长度为正,在前一比例中取正平方根,得 MN/BC=√(1−2r/R)。此等式对所有满足构型的三角形成立。