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亚太数学奥林匹克 · 2007年

试题

  1. 第1题设 SS 是由 9 个互不相同的整数构成的集合，且它们的所有素因子都不超过 3。证明 SS 中含有三个互不相同的整数，其乘积为完全立方数。解法: 1
  2. 第2题设 ABCABC 是锐角三角形，满足 ∠BAC=60∘\angle BAC=60^\circ 且 AB>ACAB>AC。令 II 为内心，HH 为垂心。证明 2∠AHI=3∠ABC2\angle AHI=3\angle ABC。解法: 1
  3. 第3题在平面上考虑 nn 个圆盘 C1,C2,…,CnC_1,C_2,\ldots,C_n，满足对每个 1≤i<n1\le i<n，CiC_i 的圆心在 Ci+1C_{i+1} 的圆周上，且 CnC_n 的圆心在 C1C_1 的圆周上。定义得分为满足 CiC_i 真包含 CjC_j 的有序对 (i,j)(i,j) 数目。求可能的最大得分。解法: 1
  4. 第4题设正实数 x,y,zx,y,z 满足 x+y+z=1x+y+z=1。证明 x2+yz2x2(y+z)+y2+zx2y2(z+x)+z2+xy2z2(x+y)≥1\frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\frac{y^2+zx}{\sqrt{2y^2(z+x)}}+\frac{z^2+xy}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\ge1。解法: 1
  5. 第5题一个规则的 5×55\times5 灯阵有故障：拨动一盏灯的开关会改变它本身以及同一行、同一列中与它相邻的每盏灯的状态。初始时所有灯都熄灭。经过若干次拨动后恰有一盏灯亮着。求这盏灯的所有可能位置。解法: 1